La Logica Assoluta è concepita come un sistema metafisico-teologico nel quale la distinzione tra l’Assoluto increato e il Relativo creato viene esposta mediante una duplice forma: discorsiva, per chiarire il significato filosofico delle tesi, e formale, per renderne esplicite le condizioni logiche. Ogni discorso sull’Assoluto condotto da un ente relativo è, per definizione, un discorso mediato: non accede al Logos come esso è in sé, ma come esso si rende intelligibile a una mente finita, immersa nel tempo, vincolata alla materia, capace di errore. Riconoscere questo limite non è un atto di modestia retorica, ma una condizione strutturale del sistema stesso: se il Relativo pretendesse di conoscere l’Assoluto così come l’Assoluto conosce se stesso, cesserebbe la distinzione ontologica su cui l’intero impianto si fonda.

Per questo il sistema è insieme discorsivo e formale: discorsivo nel contenuto metafisico, perché la realtà di cui tratta - l’essere necessario, la creazione, la partecipazione, l’incarnazione - eccede in linea di principio ogni cattura puramente simbolica; formale nella sua traduzione logica, perché senza una struttura assiomatica esplicita il discorso metafisico rischia di scivolare nell’ambiguità, nella suggestione retorica priva di controllo, o nella contraddizione non riconosciuta. La forma logica non sostituisce il pensiero filosofico: lo disciplina, lo espone al controllo, lo rende falsificabile nei suoi passaggi interni anche quando i suoi assiomi di partenza restano, come è inevitabile in metafisica, indimostrati nel senso stretto del termine.

Il sistema assume come compito fondamentale la salvaguardia della trascendenza dell’Assoluto, della contingenza del Relativo, dell’unicità personale del Logos e della co-sussistenza delle nature nella persona incarnata. La formalizzazione utilizza un linguaggio del primo ordine arricchito dagli operatori modali di necessità (necessariamente, indicato con il simbolo box) e possibilità (possibilmente, indicato con il simbolo diamond), interpretati nello schema S5 - la logica modale in cui l’accessibilità tra mondi possibili è una relazione di equivalenza (riflessiva, simmetrica, transitiva), cosicché ciò che è possibile è necessariamente possibile, e ciò che è necessario è necessariamente necessario.

A partire dall’Incarnazione del Logos, il sistema cessa di essere metafisica filosofica neutra e diventa assiomatizzazione di una dottrina rivelata: gli assiomi relativi a Incarnazione, accettazione e trasformazione non sono dedotti dalla sola ragione naturale, ma assunti come dati di rivelazione. È importante dichiarare questo passaggio di statuto epistemico con chiarezza, perché confondere ciò che la ragione naturale può stabilire da sola con ciò che essa riceve come dato rivelato produce sistemi ibridi e instabili, che pretendono l’evidenza razionale per contenuti che in realtà richiedono l’assenso della fede.

NUCLEO DOTTRINALE MINIMALE

Prima di ogni sviluppo discorsivo o formale, si isolano qui le tesi che costituiscono l’impegno fisso del sistema - ciò che ogni successivo apparato (logico, modale, a più sorte, meccanizzabile) rappresenta, ma non genera. Un’aggiunta tecnica è legittima solo se resta rappresentazione di una di queste tesi, o loro conseguenza; se introduce contenuto dottrinale nuovo, non lo fa per via tecnica ma per dichiarazione esplicita, qui, in questa lista.

N1. Assoluto (A) e Relativo (R) sono distinti per natura, non per grado: A è necessario, increato, atemporale, immutabile, autosufficiente; R è creato, dipendente, temporale, spaziale, materiale. Nessun ente è, sotto lo stesso rispetto, sia A sia R.

N2. R dipende da A in modo continuo e asimmetrico: la creazione non è un atto isolato ma un sostentamento permanente. Questa dipendenza è relazione reale in R e relazione di ragione in A: nessuna variazione di R comporta alcun mutamento intrinseco di A.

N3. L’Incarnazione è libera nell’origine (non necessitata da alcuna proprietà di A), permanente una volta data, e unica (un solo atto, un’unica natura assunta).

N4. R non può colmare da sé, per conoscenza, virtù o perfezionamento interno, la distanza che lo separa da A: non diventa A per accumulo, né la sola conoscenza di A è sufficiente a trasformarlo. La trasformazione di R è possibile solo mediante accettazione libera di un’iniziativa che procede da A - non come effetto meccanico, né come merito.

N5. L’uomo è sostanza materiale unitaria del Relativo, senza sostanza spirituale separata. La sua conoscenza è credenza vera, fondata e partecipata al Logos, strutturalmente fallibile in ragione della propria finitezza.

N6. A conosce per identità tra il conoscere e l’essere conosciuto: la sua conoscenza non è un processo, non si accresce, non è mai parziale. R conosce solo per ricezione e traduzione mediata, e la sua conoscenza non è mai totale in alcun mondo: resta strutturalmente inesauribile, per quanto possa ampliarsi.

Tutto ciò che segue - la logica libera a tre sorte, lo schema S5, la teoria del supposito, il calcolo Λ, i modelli, le dimostrazioni di correttezza e completezza, gli assiomi di stabilità e unicità dell’Incarnazione - è sviluppo tecnico di N1-N6, non loro estensione dottrinale, con un’unica eccezione dichiarata: N6 stesso, introdotto nella sezione 4 e nella sezione 12, non è implicito in N1-N5 nello stesso modo stretto in cui lo sono STAB o UNI-NAT rispetto a N3 - è un’estensione genuina, motivata dalla dottrina classica della semplicità ed eternità di A (che rende la conoscenza di A identica al suo stesso essere, senza successione) e dalla finitezza di R già affermata in N5, ma non derivata puramente da N1-N5 per via tecnica. È registrata qui, esplicitamente, proprio perché la disciplina enunciata in questo nucleo richiede che ogni aggiunta non puramente rappresentativa sia dichiarata come tale, non assorbita in silenzio.

PARTE PRIMA - ESPOSIZIONE DISCORSIVA

1. TESI METAFISICA FONDAMENTALE

L’Assoluto è l’ente necessario, increato, eterno, atemporale, immutabile e autosufficiente. Ciascuno di questi attributi va inteso non come proprietà accidentale, ma come modo d’essere che segue necessariamente dalla natura stessa dell’Assoluto: essere necessario significa non poter non essere, e non dipendere da alcuna condizione esterna per la propria esistenza; essere increato significa non avere origine, non essere stato causato da altro; essere eterno e atemporale significa non essere soggetto alla successione, non “avere” un passato e un futuro ma possedere la propria esistenza in un presente che non scorre; essere immutabile significa non subire mutamento, né in accrescimento né in diminuzione, poiché ogni mutamento presuppone una potenzialità non ancora attuata, e nell’Assoluto non vi è potenzialità residua; essere autosufficiente significa non ricevere il proprio essere da altro, ma esserne fonte per tutto ciò che esiste al di fuori di sé.

Il Relativo è l’ordine creato, dipendente, temporale, spaziale e finito. Ogni ente relativo esiste perché ha ricevuto l’esistenza, non perché la possieda per natura propria; è situato nel tempo, cioè la sua esistenza si dispiega in una successione di stati; è situato nello spazio, cioè occupa una posizione determinata ed è quindi definito anche da ciò che non è, da ciò che gli è esterno; è finito, cioè limitato in ogni sua determinazione - nella durata, nella potenza, nella conoscenza, nella perfezione.

Tra i due ordini vi è distinzione ontologica assoluta: nessun grado di somiglianza, nessuna scala continua di perfezione permette di far scivolare il Relativo verso l’Assoluto per semplice accumulo o perfezionamento. Non si diventa Assoluto migliorando indefinitamente le proprie qualità relative, così come nessuna somma di segmenti finiti produce una retta infinita: la differenza non è di grado ma di natura. Vi è tuttavia anche relazione asimmetrica tra i due ordini: l’Assoluto fonda, crea e sostiene il Relativo, mentre il Relativo riceve, traduce e conosce in modo parziale il Logos. Questa asimmetria non è reciproca: l’Assoluto non dipende in alcun modo dal Relativo per la propria esistenza o perfezione, mentre il Relativo dipende totalmente e continuamente dall’Assoluto - non solo per essere stato originato, ma per continuare a essere in ogni istante della propria durata. La creazione, in questo sistema, non è un atto compiuto una volta per tutte in un momento remoto, ma una relazione di sostentamento permanente: se l’atto sostenente dell’Assoluto venisse meno, il Relativo non continuerebbe a esistere per inerzia, ma cesserebbe semplicemente di essere.

Va precisato, per evitare un fraintendimento a cui il solo linguaggio discorsivo potrebbe indurre, che questo sostentamento permanente non comporta alcun mutamento nell’Assoluto stesso. Come Agostino osserva nel libro undicesimo delle Confessioni discutendo il rapporto tra Dio e il tempo, e come Tommaso d’Aquino formalizza distinguendo, nella relazione tra Creatore e creatura, una relazione reale nella creatura e una relazione di ragione nel Creatore (Summa Theologiae, I, q. 46), l’atto creativo e sostenente è unico, eterno e identico all’essenza stessa dell’Assoluto; ciò che è disteso nel tempo, e che inizia quando la creatura inizia a essere, è soltanto l’effetto - non l’atto, e non l’Assoluto che lo compie. L’inizio dell’esistenza di una creatura non è un evento che accada a Dio, ma un evento che accade, semplicemente, alla creatura. La sezione 8.1 rende questa distinzione in termini interamente formali.

La distinzione tra Assoluto e Relativo è totale, e nessun individuo può appartenere a entrambi gli ordini nello stesso senso e sotto lo stesso rispetto. Questa clausola - “nello stesso senso e sotto lo stesso rispetto” - è cruciale e verrà ripresa nella tesi cristologica: la distinzione non viene meno nemmeno nell’Incarnazione, dove permane a livello di nature, pur ammettendo un unico supposito che le sussume senza confonderle. Non si tratta quindi di un’eccezione che smentisce il principio, ma di una distinzione di livello che permette al principio di restare valido mentre si dà un caso che, a uno sguardo superficiale, sembrerebbe contraddirlo.

Le proprietà dell’Assoluto, inoltre, non vanno intese come vere per accidente nel mondo attuale, ma come vere per necessità: non si dà alcuna situazione possibile in cui l’Assoluto sia mutevole, temporale o dipendente, perché ciò equivarrebbe a concepire un Assoluto che non è più tale. La contingenza, all’opposto, è ciò che definisce propriamente il Relativo: ogni sua determinazione - l’essere creato, l’essere dipendente, l’essere temporale, spaziale, materiale - è tale da poter essere altrimenti, non nel senso che di fatto muti arbitrariamente, ma nel senso che nessuna di queste condizioni appartiene all’essenza del Relativo per necessità assoluta: il Relativo esiste perché è stato posto in essere, non perché la sua esistenza sia richiesta dalla sua stessa natura.

2. TEORIA DELLE NATURE E DEL SUPPOSITO

Un punto che la sola distinzione tra Assoluto e Relativo lascia irrisolto è come si debba pensare ciò che rende un ente quello che è: se Assoluto e Relativo fossero gli unici livelli di descrizione disponibili, l’Incarnazione risulterebbe strutturalmente incoerente, perché implicherebbe che un medesimo soggetto sia, sotto lo stesso rispetto, sia Assoluto sia Relativo - il che l’assioma di distinzione totale esclude categoricamente. Per questo si rende necessario un livello intermedio di analisi: quello delle nature e del supposito.

Le nature non sono individui appartenenti direttamente all’ordine dell’Assoluto o a quello del Relativo, ma principi formali mediante i quali si determina il modo d’essere e di operare di un soggetto. Una natura non esiste come agente a sé stante, non compie azioni, non entra in relazione: è ciò per cui un supposito - il soggetto concreto, la persona - è ed opera in un certo modo piuttosto che in un altro. Distinguere la natura dal supposito permette di affermare che un unico soggetto personale possa sussumere, possedere, più di una natura, senza che questo introduca due soggetti distinti né una natura ibrida che confonda le due originarie.

Il predicato che esprime questa relazione - un soggetto personale che possiede o assume una determinata natura - va inteso come irriducibile tanto alla semplice appartenenza quanto alla semplice identità: il supposito non è la sua natura (altrimenti due nature nello stesso supposito produrrebbero due suppositi), ma neppure è indipendente da essa (perché è per mezzo della natura che il supposito è ed opera in un determinato modo). Questa distinzione, elaborata nella tradizione scolastica per rendere ragione della dottrina cristologica, è il cardine che permette al sistema di ammettere l’Incarnazione senza abbandonare la distinzione ontologica assoluta posta nella tesi metafisica: quest’ultima resta vera a livello di natura, mentre l’evento dell’Incarnazione si dà a livello di persona.

3. TESI ANTROPOLOGICA

L’uomo non è composto da due sostanze eterogenee, anima e corpo, secondo il modello dualista che oppone una sostanza pensante a una sostanza estesa, ma è una sostanza materiale unitaria del Relativo. Questa scelta ha conseguenze rilevanti: significa che le facoltà tipicamente attribuite a un’anima spirituale - pensiero, volontà, coscienza di sé, capacità di astrazione - non sono proprietà di una sostanza separata e indipendente dal corpo, temporaneamente unita a esso, ma sono attività proprie dell’organizzazione materiale stessa, quando questa raggiunge un grado sufficiente di complessità funzionale. La sua unità è spazio-temporale: non vi è nell’uomo una parte che appartiene a un ordine diverso da quello del Relativo, capace di sussistere indipendentemente dal corpo. La conoscenza non dipende da una sostanza spirituale separata, bensì dall’organizzazione materiale che rende possibile la ricezione dell’intelligibilità - un concetto che evita sia il riduzionismo eliminativista (per cui il pensiero sarebbe “nient’altro che” processo fisico privo di autentico contenuto intelligibile) sia il dualismo sostanziale (per cui il pensiero richiederebbe una sostanza di natura diversa dalla materia), proponendo invece che la materia stessa, opportunamente organizzata, sia il luogo reale della ricezione del Logos.

L’uomo appartiene interamente all’ordine del Relativo e possiede, come ogni ente relativo, una natura sussunta dal proprio supposito - non una natura assoluta accidentalmente incarnata in un corpo, come in certe letture emanazioniste o gnostiche, ma una natura pienamente relativa e creata. La relazione dell’uomo con l’Assoluto è di partecipazione al Logos, non di identità sostanziale: l’uomo riceve intelligibilità dall’esterno di sé, restando nella propria condizione di creatura. Questa condizione resta inalterata - salvo la trasformazione resa possibile dall’Incarnazione per chi vi aderisce, di cui si dirà nella tesi soteriologica. È importante notare che questa trasformazione non introduce una sostanza spirituale separata “a posteriori”: non si tratta di aggiungere all’uomo ciò che l’antropologia materiale unitaria gli aveva negato in partenza, ma di un’elevazione dell’intera sostanza materiale-relativa a un modo d’essere che le era altrimenti precluso.

4. TESI EPISTEMOLOGICA

La conoscenza è credenza vera, fondata e partecipata al Logos. La formulazione riprende volutamente lo schema classico della “credenza vera giustificata”, ma vi aggiunge una condizione ulteriore, quella della partecipazione: non basta che una proposizione sia vera; deve essere anche giustificata - cioè non creduta per caso, non vera per accidente, ma sostenuta da ragioni che ne rendono conto - e integrata nella struttura intelligibile del reale, cioè non isolata, non un frammento di verità scollegato da tutto il resto, ma inserita in un ordine di senso che la connette al Logos che sostiene l’intelligibilità del mondo.

La fallibilità appartiene al Relativo: percezione, memoria, rappresentazione e linguaggio sono finiti e possono errare. Questa non è una debolezza accidentale della condizione umana, correggibile in linea di principio con strumenti migliori o con maggiore attenzione, ma una conseguenza strutturale della finitezza stessa: un ente che riceve l’intelligibilità anziché possederla per natura propria è, per ciò stesso, esposto alla possibilità di ricevere male, di interpretare parzialmente, di confondere l’apparenza con la sostanza. La fallibilità non è quindi in contraddizione con la tesi epistemologica, ma ne è parte integrante: sapere che la propria conoscenza è per natura fallibile è già un elemento della conoscenza corretta della propria condizione.

Un punto che merita di essere affrontato esplicitamente è il rapporto tra la conoscenza dell’esistenza dell’Assoluto e l’efficacia esistenziale di tale conoscenza. Si può soddisfare ogni condizione della definizione di conoscenza sopra data - credere che l’Assoluto esista, che questa credenza sia vera, che sia fondata su argomenti razionali solidi, che sia integrata nella comprensione intelligibile del reale - e tuttavia restare in una condizione che non muta nulla di sostanziale nella propria relazione con l’Assoluto. La conoscenza dell’esistenza di un Primo Principio, per quanto vera e fondata, non colma di per sé la distinzione ontologica tra Assoluto e Relativo. Questa osservazione non è nuova nella storia del pensiero: la distinzione tra il “Dio dei filosofi”, oggetto di dimostrazione razionale, e una relazione che coinvolge l’intera esistenza del soggetto conoscente, è un tema ricorrente, da Pascal a Kierkegaard, e trova un corrispettivo anche nella distinzione tommasiana tra la conoscibilità razionale dell’esistenza di Dio e la conoscenza beatifica a cui l’uomo è ultimamente ordinato.

Ciò che va precisato, e che questo sistema assume come tesi propria, è che né la via puramente deduttiva né la rivelazione, considerate come puri atti epistemici - cioè come semplice trasmissione di informazione vera, per quanto certa e ben fondata - sono sufficienti a mutare la condizione ontologica del Relativo: l’Assoluto resta l’Assoluto, il Relativo resta il Relativo, indipendentemente dal fatto che quest’ultimo sappia o non sappia, creda o non creda, del primo. Ciò che muta la condizione del Relativo non è dunque l’atto di conoscere in quanto tale, ma l’accettazione dell’Incarnazione del Logos e la trasformazione che ne consegue per chi accetta - un atto che non è riducibile all’assenso a una proposizione vera, ma che coinvolge l’intera relazione del soggetto con l’Assoluto incarnato.

Anche la partecipazione del Relativo all’intelligibilità del Logos, pur essendo condizione necessaria di ogni conoscenza, va intesa in senso modale come proprietà stabile e non occasionale: non capita solo talvolta che il Relativo partecipi al Logos, ma è nella natura stessa di ogni ente relativo, in ogni situazione possibile in cui esiste come tale, partecipare in qualche misura all’ordine intelligibile che lo sostiene. Ciò che resta contingente non è la partecipazione in quanto tale, ma il grado e la qualità della conoscenza che il singolo soggetto relativo riesce effettivamente a realizzare a partire da essa.

Un’ultima precisazione riguarda il modo stesso del conoscere, non solo il suo contenuto o la sua efficacia. Nella tradizione che afferma la piena semplicità dell’Assoluto - per cui in A non vi è composizione tra potenza e atto, tra essenza ed esistenza, tra il conoscere e ciò che è conosciuto - la conoscenza di A non può essere un processo che parte da uno stato di ignoranza parziale e si accresce verso una maggiore completezza: sarebbe una potenzialità che si attua, e in A non vi è potenzialità residua (sezione 1). A conosce dunque per identità: il suo atto di conoscere coincide con l’essere stesso di ciò che conosce, senza mediazione, senza traduzione, senza successione. R, al contrario, conosce sempre per ricezione: riceve l’intelligibilità dall’esterno di sé, la traduce nelle proprie categorie finite, e non la esaurisce mai. Questa non è soltanto la fallibilità già discussa sopra - l’esposizione all’errore - ma qualcosa di più strutturale: anche una conoscenza di R priva di errore, per quanto vasta, resterebbe parziale rispetto alla totalità di ciò che è vero, semplicemente perché la modalità stessa della ricezione, a differenza dell’identità, non ammette compimento definitivo entro la condizione finita del Relativo. La sezione 12 rende questa distinzione in termini formali, e nota esplicitamente i limiti di tale formalizzazione riguardo alla dimensione propriamente processuale - l’accrescimento nel tempo - della conoscenza relativa.

5. TESI CRISTOLOGICA

Il Logos, pur restando pienamente Assoluto - increato, atemporale, immutabile, autosufficiente, senza che nessuno di questi attributi venga meno o si attenui - assume la natura del Relativo in un unico supposito, senza che le due nature si confondano, si mescolino o si annullino a vicenda. Questa formulazione riprende, in forma assiomatizzata, la definizione cristologica classica secondo cui in Cristo si danno due nature, divina e umana, unite in un’unica persona senza confusione, senza mutamento, senza divisione e senza separazione: la natura divina non si trasforma in natura umana, né la natura umana viene assorbita o annullata da quella divina; le due restano pienamente ciò che sono, distinte, mentre è la persona - il supposito, il soggetto ultimo a cui entrambe le nature appartengono - a essere unica.

Questo evita due errori speculari, storicamente identificati e respinti: da un lato l’idea che l’Incarnazione produca una terza natura mista, né pienamente divina né pienamente umana, in cui gli attributi dell’una temperano o alterano quelli dell’altra; dall’altro l’idea che vi siano due soggetti distinti, uno divino e uno umano, semplicemente giustapposti o collegati, come se nel Logos incarnato convivessero due persone anziché un’unica persona con due nature. L’Incarnazione non è quindi identità tra Assoluto e Relativo - il che violerebbe la distinzione ontologica assoluta posta nella tesi metafisica - ma co-sussistenza di due nature irriducibilmente distinte in un’unica persona: l’assioma della distinzione totale tra Assoluto e Relativo resta vero a livello di natura, mentre a livello di persona si dà l’evento, unico e non generalizzabile, in cui un medesimo supposito possiede entrambe le nature.

Un punto che va precisato, in termini modali, riguarda la stabilità di questa unione: una volta posta l’Incarnazione, essa non è una condizione transitoria o revocabile, ma - una volta assunta - permane. Ciò tuttavia non equivale ad affermare che l’Incarnazione sia necessaria in senso assoluto, come se il Logos non potesse non incarnarsi: l’Incarnazione resta un atto libero e contingente nella sua origine, mentre le proprietà essenziali dell’Assoluto che il Logos incarnato conserva - l’immutabilità anzitutto - restano necessarie, in quanto appartengono alla natura assoluta sussunta, non alla libera decisione dell’Incarnazione stessa. Distinguere questi due piani - la contingenza dell’evento dell’Incarnazione e la necessità delle proprietà della natura divina che permangono in essa - evita di dover trattare la sola possibilità dell’Incarnazione come una minaccia all’immutabilità dell’Assoluto: il Logos può incarnarsi restando immutabile, perché ciò che muta - se pure si può parlare di mutamento - non riguarda la natura divina in sé, ma riguarda l’assunzione di una natura ulteriore da parte della medesima persona.

6. TESI SOTERIOLOGICA

Per il Relativo che accetta il Logos incarnato si apre la possibilità di una trasformazione ontologica: non l’annullamento della propria condizione di creatura - l’uomo trasformato resta pienamente creatura, resta pienamente Relativo nella sua natura - né l’identificazione con l’Assoluto, che resterebbe comunque impossibile per lo stesso principio che vale per ogni ente relativo, ma un’elevazione reale e permanente oltre i limiti altrimenti propri del Relativo in quanto tale. Questa elevazione non è quindi acquisizione di attributi assoluti (l’ente trasformato non diventa increato, non diventa autosufficiente nel senso pieno del termine), ma partecipazione reale e stabile a modi d’essere - su tutti, l’incorruttibilità - che erano altrimenti strutturalmente preclusi al Relativo lasciato alla propria sola natura. Il culmine di questa trasformazione, nel sistema qui esposto, è la risurrezione: non sopravvivenza di una parte spirituale separata (coerentemente con quanto affermato nella tesi antropologica, che esclude una simile sostanza), ma trasformazione dell’intera sostanza materiale-relativa dell’uomo in una condizione che eccede, senza abolirla, la sua natura originaria di creatura temporale, spaziale e corruttibile.

Va sottolineato che l’accettazione di cui si parla non è un atto puramente intellettuale, riducibile all’assenso a una proposizione - questo riporterebbe il discorso al problema, già discusso nella tesi epistemologica, dell’inefficacia della conoscenza puramente deduttiva o puramente informativa. È piuttosto un atto che coinvolge l’intera relazione del soggetto relativo con il Logos incarnato, e che per questo produce un effetto ontologico - la trasformazione - che nessun atto puramente epistemico, per quanto vero e fondato, potrebbe produrre da solo.

La trasformazione, considerata in prospettiva modale, va intesa come possibile per ogni ente relativo che accetti - non necessaria, perché l’accettazione stessa è un atto libero, non imposto dalla struttura del sistema - ma tale che, una volta realizzata l’accettazione, la trasformazione e le sue conseguenze seguono con la necessità propria di un rapporto fondato, non arbitrario: chi accetta è trasformato, non per caso, ma per la natura stessa dell’evento a cui aderisce. L’autonomia relativa acquisita nella trasformazione, va infine precisato, non è autosufficienza assoluta: il soggetto trasformato non cessa in alcun modo di dipendere dall’Assoluto che lo ha creato, lo sostiene e lo ha trasformato; acquisisce piuttosto una capacità operativa e personale nuova, mantenuta però sempre entro la dipendenza ontologica dal principio primo, mai al di fuori di essa.

6.1 IL DILEMMA DELL’EVOLUZIONE E LA NECESSITÀ LOGICA DELLA GRAZIA

L’insieme delle tesi fin qui esposte permette di formulare, in modo rigoroso, un dilemma che esaurisce le sole due possibilità aperte dagli assiomi del sistema, e che è utile rendere esplicito perché ne chiarisce la struttura profonda: o il soggetto relativo è già, in qualche modo, Assoluto, oppure non lo è affatto, e in tal caso permane tra i due ordini un salto categoriale che nessun processo interno al Relativo può colmare.

Il primo corno del dilemma è escluso dal sistema fin dalla tesi metafisica fondamentale: se un ente relativo fosse già Assoluto, ogni linguaggio di evoluzione, crescita, ascesi o perfezionamento verso l’Assoluto risulterebbe privo di senso, per la stessa ragione per cui è privo di senso dire che una figura geometrica “diventa” ciò che già è. Il predicato A(y), una volta posto per un dato y, non ammette gradi né processi: o vale necessariamente, per tutti i mondi accessibili (in virtù dell’essenzialità delle proprietà assolute stabilita nella sezione 8), o non vale affatto. Ogni pratica concepita come avvicinamento graduale a una condizione che si possiede già presupporrebbe surrettiziamente una distanza che, in questo corno, per definizione non esiste: la domanda “come divento Assoluto” sarebbe, in tal caso, non una domanda difficile ma una domanda mal posta.

Il secondo corno è quello che il sistema effettivamente assume, con R(y) -> not A(y) e con la distinzione ontologica totale della sezione 8. Ma se il soggetto relativo non è Assoluto, resta allora un salto — non un gradiente continuo lungo il quale ci si possa muovere per gradi successivi, ma una discontinuità categoriale tra un ordine necessario e uno contingente. È il punto già formalizzato con il predicato Utile nella sezione 12: nessuna quantità di conoscenza, nessun grado di virtù o di perfezionamento interno al Relativo porta un soggetto y a coincidere con a, perché ogni miglioramento di questo tipo resta, per definizione, un miglioramento operato entro le coordinate di Tem(y), Dep(y) e Mat(y) — resta cioè sempre e comunque un miglioramento relativo. La distanza tra i due ordini non è quindi misurabile in gradi da percorrere, ma è la stessa distanza, categoriale e non quantitativa, che separa il necessario dal contingente in ogni mondo del modello.

Ne segue una conclusione che il sistema non si limita a rendere possibile, ma impone come unica opzione logicamente coerente: se il salto non può essere colmato dal lato del Relativo — e gli assiomi delle sezioni 8 e 12 lo escludono esplicitamente — allora l’unica direzione lungo la quale il salto può essere colmato è quella opposta, dall’Assoluto verso il Relativo, e non viceversa. È per questa ragione strutturale, non per una preferenza dottrinale aggiunta dall’esterno, che l’Incarnazione non compare nel sistema come una tra le opzioni possibili per la relazione tra i due ordini, ma come l’unica mossa disponibile una volta accettati gli assiomi delle sezioni precedenti: non un miglioramento che il Relativo compie su se stesso, ma un atto la cui iniziativa e la cui origine si collocano dall’altro lato del salto.

Questo si riflette con precisione nella struttura stessa degli assiomi soteriologici della sezione 13: Trasforma(y) non è mai derivato, in alcun punto del sistema, da un predicato di sforzo, merito o perfezionamento proprio di y, ma esclusivamente da Accetta(y,l) — cioè dall’accoglienza di un’iniziativa che ha origine fuori da y. Il sistema, preso sul serio nelle sue stesse conseguenze, esclude così due posizioni che a prima vista potrebbero sembrare alternative ragionevoli: da un lato l’idea di un’auto-divinizzazione del Relativo, che il primo corno del dilemma mostra essere non falsa ma concettualmente incoerente; dall’altro l’idea di un progresso spirituale autosufficiente, capace di colmare da solo, per accumulo, la distanza categoriale che il secondo corno lascia aperta. Ciò che resta, come unica categoria logicamente necessaria — non semplicemente pia o edificante — per rendere conto della possibilità stessa di Trasforma(y), è la grazia: l’iniziativa gratuita e asimmetrica con cui l’Assoluto, senza cessare di essere Assoluto, si muove verso il Relativo, rendendo possibile ciò che nessuna evoluzione interna al Relativo avrebbe potuto produrre.

6.3 STATUTO EPISTEMICO DEGLI ASSIOMI: RAGIONE NATURALE E RIVELAZIONE

Il proemio dichiara, in un solo enunciato generale, che il sistema cessa di essere metafisica filosofica neutra a partire dall’Incarnazione. Questa affermazione, lasciata a un livello puramente discorsivo, rischia due difetti opposti se non viene resa esplicita gruppo per gruppo: da un lato può far apparire l’intero nucleo assiomatico come indifferenziato, come se tesi accessibili alla sola ragione naturale (l’esistenza di un fondamento necessario, la dipendenza del contingente) fossero mescolate, senza distinzione di statuto, a tesi che richiedono l’assenso della rivelazione (l’evento singolare dell’Incarnazione, la sua permanenza, la sua unicità); dall’altro, la stessa indeterminatezza può far apparire il nucleo come eccessivamente aperto - una struttura modulare capace, in linea di principio, di accogliere quasi qualunque contenuto teologico specifico, svuotata di ogni impegno determinato. Si offre qui, una volta per tutte, la classificazione che il proemio presupponeva senza esplicitare.

[RAGIONE NATURALE - difendibile, nella tradizione classica, con i soli strumenti della metafisica filosofica, indipendentemente da qualunque rivelazione specifica]: - sezione 8: distinzione ontologica (ora dimostrata, non assunta - vedi sopra), proprietà dell’Assoluto e del Relativo, fondazione e sostentamento; - sezione 8.1: relazioni di ragione e relazioni reali (Crea, Sost); - sezione 9: teoria delle nature e del supposito, in quanto apparato concettuale puramente formale, applicabile in linea di principio a qualunque soggetto che sussuma più di una natura, non specificamente cristologico finché non applicato a l; - sezione 11: antropologia (l’uomo come sostanza materiale unitaria del Relativo, senza sostanza spirituale separata) - una tesi filosofica specifica, dibattuta, ma difesa da alcune correnti della sola filosofia della mente, non esclusiva di alcuna rivelazione; - sezione 12: epistemologia generale (definizione di conoscenza, fallibilità del Relativo), con l’eccezione della clausola su Utile, discussa sotto.

definizione di Incarnazione(l) tramite Sussume(l,nh); - sezione 10.1: (STAB), la permanenza dell’unione ipostatica; - sezione 10.2: (UNI-NAT) e (FRAME-UNICA), l’unicità e la storicità dell’Incarnazione; - sezione 13: l’intera soteriologia (Accetta, Trasforma, la trasformazione conseguente all’accettazione); - la clausola su Utile in sezione 12, che dipende dal dilemma dei due corni (sezione 6.1) e dalla sua risoluzione tramite la grazia - un contenuto la cui necessità è interna al sistema, ma la cui verità presuppone l’intero quadro rivelato, non la sola ragione naturale.

Questa classificazione risponde a entrambe le obiezioni che l’avevano resa necessaria. Contro l’accusa di indifferenziazione: gli assiomi non sono confusi in un unico blocco di eguale statuto, ma esplicitamente separati, e la separazione coincide esattamente con il confine già tracciato dalla sezione cristologica in avanti - un confine motivato, non arbitrario. Contro l’accusa di eccessiva apertura: il blocco [RIVELAZIONE] non è affatto modulare o intercambiabile - (STAB), (UNI-NAT) e (FRAME-UNICA) sono stati introdotti precisamente per escludere letture alternative altrettanto compatibili con il solo blocco [RAGIONE NATURALE] (incarnazioni multiple o revocabili, emanazione per gradi, auto-divinizzazione progressiva - il corno del dilemma escluso nella sezione 6.1). Il nucleo specificamente cristiano del sistema si è fatto, nel corso delle revisioni successive, più determinato e meno intercambiabile, non più generico: la direzione di sviluppo è stata opposta a quella temuta dall’obiezione.

Va detto, con la stessa onestà richiesta altrove in questo trattato, che questa classificazione è essa stessa un giudizio di secondo livello, esterno al calcolo Λ: nessuna formula del linguaggio formale codifica “questo assioma è di ragione naturale” o “questo di rivelazione” - la distinzione è imposta dall’esterno, sulla base dello statuto tradizionale dei singoli contenuti nella storia della filosofia e della teologia, non derivata dagli assiomi stessi. Il calcolo, da solo, non può sapere quali delle proprie premesse siano di un tipo o dell’altro: questo è precisamente il limite, non la lacuna, di un sistema che formalizza il contenuto di una dottrina senza pretendere che la formalizzazione stessa ne certifichi la fonte.

6.4 CHIUSURA DELLA PARTE PRIMA E TRANSIZIONE ALL’APPARATO FORMALE

Un’ultima osservazione anticipa, senza ancora svilupparla, una precisione che troverà la propria sede propria nella sezione 22, a chiusura dell’intero trattato: Incarnazione(l) e Accetta(y,l), nel calcolo delle sezioni 10 e 13, condividono lo stesso statuto logico - nessuno dei due è mai derivato da una condizione interna al soggetto cui si applica, entrambi restano atti primitivi, non teoremi. Con questa notazione lasciata in sospeso, la parte discorsiva del trattato - tesi metafisica, antropologica, epistemologica, cristologica e soteriologica, ciascuna con la propria controparte assiomatica in germe - si considera esposta nei suoi termini essenziali. Segue, nella Parte Seconda, l’apparato formale completo: linguaggio, domini, assiomi, modello, calcolo deduttivo, dimostrazioni di correttezza e completezza.

PARTE SECONDA - APPARATO FORMALE (FOL-S5)

7. LINGUAGGIO, DOMINI ED ESISTENZA

Il linguaggio formale distingue tre domini di quantificazione: il dominio degli Individui (enti concreti, suppositi, persone), il dominio delle Nature (principi formali del modo d’essere) e il dominio delle Proposizioni (i contenuti oggetto di credenza e conoscenza). I predicati A(x) e R(x) sono definiti sul dominio degli Individui; i predicati NAss(n) e NRel(n) sul dominio delle Nature; Vera(p), Cred(y,p) e i predicati epistemici correlati coinvolgono il dominio delle Proposizioni. Questa tipizzazione rende ridondante, e quindi non necessario come assioma primitivo, escludere a posteriori che una natura sia essa stessa Assoluta o Relativa: la domanda non è formulabile per un errore di tipo, non perché esclusa da un assioma ulteriore.

Poiché il sistema deve trattare enti la cui esistenza è necessaria (l’Assoluto) accanto a enti la cui esistenza è contingente (il Relativo), il linguaggio adotta una semantica a domini variabili, propria della logica libera (free logic), anziché la più semplice ma meno adeguata semantica a dominio costante. Si introduce quindi un predicato di esistenza relativizzato al mondo di valutazione:

Ex(x): x esiste [x: Individuo]. Exn(n): n esiste [n: Natura]. Exp(p): p esiste [p: Proposizione].

Convenzione di libertà esistenziale: ogni formula atomica P(t1,…,tn) è vera in un mondo w solo se tutti i termini t1,…,tn denotano un elemento del dominio corrispondente in w, cioè solo se Ex(ti), Exn(ti) o Exp(ti) vale in w a seconda del tipo di ti. Questa convenzione rende superfluo premettere esplicitamente il predicato di esistenza a ogni formula: la sua verità in un mondo comporta già, come condizione necessaria, l’esistenza in quel mondo di tutto ciò che essa menziona. È questa convenzione, non un assioma aggiuntivo per ciascun predicato, a garantire che gli operatori modali si applichino in modo uniforme a tutti i predicati del sistema: quando si scrive box P(t) o diamond P(t), si intende sempre “P(t) è vero, e dunque t esiste, in ogni mondo accessibile” oppure “in almeno un mondo accessibile”.

Il dominio degli Individui e il dominio delle Nature sono variabili tra i mondi accessibili (domini non costanti): non tutti gli individui né tutte le nature esistenti in un mondo esistono in ogni altro mondo accessibile. Il dominio delle Proposizioni, per convenzione standard nel trattamento degli oggetti astratti, è assunto costante: ogni proposizione esiste in ogni mondo possibile, anche quando non vi è vera (Exp(p) vale sempre, mentre Vera(p) varia da mondo a mondo).

Rigidità delle costanti a ed l: le costanti a (l’Assoluto) e l (il Logos) denotano lo stesso individuo in ogni mondo in cui esistono (designatori rigidi in senso standard). Inoltre, poiché l’autosufficienza e l’incausatezza sono, per l’assioma della sezione 8, proprietà essenziali di ogni ente assoluto, si assume che l’esistenza stessa di un ente assoluto sia una proprietà essenziale e non contingente: un ente che esistesse per sé (Aut) e non fosse causato da altro (Inc) non potrebbe esistere in alcuni mondi e non in altri senza dipendere, per questa variazione, da qualche condizione esterna - il che contraddirebbe Aut(x) stesso. Da qui l’assioma:

forall x (A(x) -> box Ex(x))

da cui, per A(a) e A(l) (sezione 8 e sezione 10), seguono direttamente box Ex(a) e box Ex(l): l’Assoluto e il Logos esistono in ogni mondo accessibile, senza eccezione.

Al contrario, nessun individuo relativo esiste necessariamente: la sua esistenza, essendo ricevuta e non posseduta per natura propria (Aut non gli si applica), è tale da poter mancare in altri mondi accessibili anche quando è data nel mondo di valutazione:

forall y (R(y) -> not box Ex(y))

La medesima distinzione si applica al dominio delle Nature: le nature assolute esistono necessariamente, le nature relative esistono contingentemente:

forall n (NAss(n) -> box Exn(n)) forall n ((NRel(n) & n != nh) -> not box Exn(n))

La costante nh è esplicitamente esclusa da questo secondo schema, e trattata a parte nella sezione 10.1: l’assioma di permanenza dell’Incarnazione (STAB) comporta che, una volta che Exn(nh) valga in un mondo di un dato cluster, valga in ogni mondo di quel cluster (essendo Exn(nh) condizione necessaria di Sussume(l,nh), a sua volta condizione di Incarnazione(l), la cui costanza entro il cluster è imposta da STAB). La natura nh possiede dunque, per la specifica dottrina della stabilità dell’unione ipostatica, un profilo modale diverso da quello delle altre nature relative: contingente al livello della totalità di W (esistono cluster, come si vedrà nella sezione 17, in cui non è mai assunta), ma localmente costante - “necessaria” solo nel senso ristretto di box riferito a un singolo cluster - entro qualunque cluster in cui sia stata una volta assunta. Questa non è un’eccezione ad hoc introdotta per evitare una difficoltà tecnica, ma la stessa struttura, già discussa per Incarnazione(l) in sezione 10.1, applicata coerentemente alla natura di cui l’Incarnazione stessa si costituisce.

Simboli:

A(x): x è Assoluto [x: Individuo]. R(x): x è Relativo [x: Individuo]. U(x): x è uomo [x: Individuo]. Crea(x,y): x crea y. Sost(x,y): x sostiene y. PartL(y): y partecipa al Logos. PartP(y,p): y partecipa epistemicamente alla proposizione p. Cred(y,p): y crede p. Vera(p): p è vera. Fondata(y,p): y è fondata rispetto a p. Conosce(y,p): y conosce p. Inc(x): x è increato. At(x): x è atemporale. Aut(x): x è autosufficiente. Im(x): x è immutabile. Crt(x): x è creato. Dep(x): x è dipendente. Tem(x): x è temporale. Spa(x): x è spaziale. Mat(x): x è materiale. NAss(n): n è natura assoluta [n: Natura]. NRel(n): n è natura relativa [n: Natura]. Persona(x): x è un supposito personale. Sussume(x,n): x, come persona, possiede/assume la natura n. Incarnazione(x): x è il Logos incarnato. Accetta(y,l): y accetta il Logos incarnato. Trasforma(y): y è ontologicamente trasformato. AutR(y): y partecipa realmente a proprietà prima precluse al Relativo. Utile(y,p): la conoscenza di p da parte di y colma la distinzione ontologica tra y e l’Assoluto. Ex(x), Exn(n), Exp(p): predicati di esistenza relativizzata al mondo, per ciascuno dei tre domini (vedi sopra).

Costanti:

a = Assoluto. l = Logos. nh = la natura umana concreta assunta nell’Incarnazione [n: Natura].

Operatori modali (schema S5): box (necessariamente), diamond (possibilmente). L’accessibilità tra mondi è relazione di equivalenza: riflessiva, simmetrica, transitiva. Da cui: diamond p -> box diamond p, e box p -> box box p, per ogni p. Per la convenzione di libertà esistenziale sopra introdotta, questi operatori si applicano in modo uniforme a ogni predicato del sistema, individuale, relazionale o epistemico, senza eccezioni: la modalizzazione parziale della versione precedente di questo apparato è qui sostituita da un trattamento sistematico, in cui ogni assioma è accompagnato dall’esplicitazione del proprio stato modale (necessario, contingente, o dipendente da un atto libero).

8. ASSIOMI - ONTOLOGIA FONDAMENTALE

Nelle formulazioni precedenti di questo apparato, A(x) e R(x) comparivano come predicati primitivi, e la loro reciproca esclusione (box forall x not(A(x)&R(x))) era essa stessa assunta come assioma indipendente. Ciò lasciava la relazione tra Assoluto e Relativo strutturalmente simile a un’etichetta apposta per stipulazione, motivata solo dal commento discorsivo, non dal calcolo. Si adotta qui una formulazione più stretta, che definisce A e R attraverso le proprietà già impiegate per caratterizzarli, e deriva la loro distinzione come teorema anziché assumerla come assioma a parte.

Definizioni, necessarie in ogni mondo:

(DEF-A) box forall x (A(x) <-> Inc(x) & At(x) & Aut(x) & Im(x)) (DEF-R) box forall x (R(x) <-> Crt(x) & Dep(x) & Tem(x) & Spa(x) & Mat(x))

A differenza della formulazione precedente (A(x) -> …), qui la biimplicazione fa di A un predicato definito, non un’etichetta ulteriore apposta a un insieme di proprietà già altrimenti fissato: qualunque individuo possieda Inc, At, Aut e Im è, per definizione, Assoluto - non esiste la possibilità, aperta dalla sola implicazione, di un individuo che possieda quelle quattro proprietà senza essere annoverato tra gli Assoluti. La medesima osservazione vale, simmetricamente, per R.

Lemma lessicale, quasi analitico per il significato stesso dei termini coinvolti - non una scoperta metafisica ma la constatazione che “increato” e “creato” sono, per costruzione semantica, l’uno la negazione dell’altro:

(LEX) box forall x not (Inc(x) & Crt(x))

TEOREMA (distinzione ontologica come conseguenza, non come assioma primitivo). box forall x not (A(x) & R(x)).

Dimostrazione. Supponiamo, per assurdo, A(x) & R(x) in un mondo w. Per (DEF-A), Inc(x) vale in w; per (DEF-R), Crt(x) vale in w. Ma allora Inc(x) & Crt(x) vale in w, contraddicendo (LEX). Dunque non può darsi A(x) & R(x) in alcun mondo: la conclusione, essendo ottenuta da premesse necessarie (DEF-A, DEF-R, LEX sono tutte box), vale essa stessa necessariamente, per la chiusura di S5 rispetto alla necessitazione di conseguenze logiche di premesse necessarie. QED.

Questo risultato non elimina A e R dal vocabolario primitivo del sistema - un vocabolario primitivo è, in ogni teoria assiomatica, inevitabile - ma sposta il punto in cui la primitività entra in gioco: non più la relazione stessa tra Assoluto e Relativo (che ora è dimostrata, non stipulata), bensì le proprietà più elementari (Inc, At, Aut, Im, Crt, Dep, Tem, Spa, Mat) di cui A e R sono definiti come configurazioni. La distinzione ontologica assoluta, discussa in termini discorsivi nella sezione 1, trova qui la sua controparte formale più stretta possibile entro un sistema che debba pur sempre partire da qualche primitivo.

box forall x forall y ((A(x) & R(y)) -> x != y)

Proprietà dell’Assoluto, essenziali e quindi necessarie per ogni ente che le possiede:

forall x (A(x) -> Inc(x) & At(x) & Aut(x) & Im(x)) forall x (A(x) -> box (Inc(x) & At(x) & Aut(x) & Im(x)))

da cui, per la rigidità di a: box Inc(a), box At(a), box Aut(a), box Im(a) - non solo vere nel mondo attuale, ma vere in ogni mondo in cui a esiste, cioè, per box Ex(a), in ogni mondo senza eccezione. Si noti che, per (DEF-A), queste due righe sono ora ridondanti rispetto alla biimplicazione già posta sopra - sono mantenute per continuità di lettura con le sezioni successive che le richiamano esplicitamente, ma sono, a rigore, teoremi immediati di (DEF-A).

Proprietà del Relativo, valide per ogni y che esiste come relativo nel mondo di valutazione, ma non necessarie in sé:

forall y (R(y) -> Crt(y) & Dep(y) & Tem(y) & Spa(y) & Mat(y))

La contingenza del Relativo si esprime ora in modo pieno grazie all’apparato di esistenza variabile: non solo ciascuna determinazione di y è possibile senza essere necessaria, ma la stessa esistenza di y come relativo può mancare in altri mondi accessibili (not box Ex(y), sezione 7); di conseguenza anche R(y) stesso, e ogni predicato da esso implicato, vale solo diamond, non box:

R(y) -> diamond Crt(y) & diamond Dep(y) & diamond Tem(y) & diamond Spa(y) & diamond Mat(y) not box R(y) [per ogni y tale che R(y): segue da not box Ex(y)]

Fondazione e sostentamento - relazioni la cui istanza dipende dall’esistenza contingente del relativo creato, e che per questo non sono mai necessarie in sé, pur essendo, quando date, non revocabili arbitrariamente:

forall y (R(y) -> exists x (A(x) & Crea(x,y) & Sost(x,y)))

box forall x (not Crea(x,x)) box forall x forall y (Crea(x,y) -> not Crea(y,x)) box forall x (not Sost(x,x)) box forall x forall y (Sost(x,y) -> not Sost(y,x))

L’irriflessività e l’asimmetria di Crea e Sost sono qui rese necessarie (box), perché non dipendono dalla contingenza di quali individui esistano in un dato mondo, ma dalla struttura stessa delle relazioni: in nessun mondo possibile, quale che sia il suo dominio di individui, un ente può creare o sostenere se stesso, né può essere creato o sostenuto da ciò che esso stesso crea o sostiene.

8.1 RELAZIONI DI RAGIONE E RELAZIONI REALI: IL CASO DI CREA E SOST

Un punto lasciato implicito nella trattazione precedente merita ora una formalizzazione esplicita, per una ragione precisa: se Crea(x,y) e Sost(x,y) sono trattate come relazioni primitive il cui valore di verità varia da mondo a mondo al variare dell’esistenza di y, si presenta il rischio di un fraintendimento semantico - che tale variazione comporti un mutamento nell’estensione dei predicati riferiti al primo argomento x, quando x è Assoluto. Se così fosse, la tesi dell’immutabilità di a (box Im(a), sezione 8) risulterebbe in tensione con il fatto, pure assunto dal sistema, che a crea e sostiene enti la cui esistenza è essa stessa contingente e variabile tra i mondi.

La tradizione scolastica risolve questa tensione distinguendo, in ogni relazione che intercorre tra il Creatore e la creatura, due poli di status radicalmente diverso: nella creatura, la relazione di dipendenza dal Creatore è reale, cioè appartiene realmente alla creatura, la costituisce in ciò che è; nel Creatore, la medesima relazione, presa dal lato del termine che la fonda, non è una relazione reale che lo determini o lo componga, ma - per usare la formula classica ripresa tanto da Agostino (Confessioni, libro XI) quanto da Tommaso d’Aquino (Summa Theologiae, I, q. 46) - una relazione di ragione: qualcosa che si dice di Dio in rapporto alla creatura, ma che non aggiunge a Dio alcuna determinazione ulteriore rispetto a ciò che Dio già è, necessariamente e immutabilmente, in se stesso. L’atto creativo, in questa lettura, è unico ed eterno, identico all’essenza stessa dell’Assoluto; ciò che è disteso nel tempo e variabile è soltanto l’effetto, cioè la creatura - non l’atto in se stesso, e non l’Assoluto che lo compie.

Per rendere questa distinzione nel calcolo del trattato, si adotta il seguente criterio formale: una relazione diadica R(x,y) è, rispetto al suo primo argomento, una relazione di ragione quando x è Assoluto, se e solo se il suo valore di verità, condizionatamente ad A(x), è interamente determinato da una formula che menziona solo il secondo argomento (oltre a predicati di x già necessari, come A(x) stesso):

box forall x forall y (A(x) -> (R(x,y) <-> phi(y)))

dove phi è una formula nella sola variabile y. Quando questa condizione è soddisfatta, nessuna variazione di R(a,y) tra mondi differenti può essere imputata a una variazione di ciò che è vero di a considerato in sé: l’intera variabilità è, per costruzione, ricondotta alla variabilità di y.

Si assumono quindi, come raffinamento degli assiomi di fondazione e sostentamento già posti sopra, le seguenti equivalenze necessarie:

(REL-CREA) box forall x forall y (A(x) -> (Crea(x,y) <-> Crt(y)))

(REL-SOST) box forall x forall y (A(x) -> (Sost(x,y) <-> Dep(y)))

Il congiunto Ex(y), presente in una prima formulazione di queste equivalenze, è qui omesso perché ridondante: Crt(y) e Dep(y) sono formule atomiche, e per la convenzione di libertà esistenziale (sezione 7) la loro verità in un mondo presuppone già, come condizione necessaria, l’esistenza di y in quel mondo. Premettere esplicitamente Ex(y) non aggiungeva quindi alcun contenuto ulteriore.

Queste due equivalenze non sono ipotesi aggiuntive indipendenti, ma la formalizzazione diretta della distinzione tra relazione reale nella creatura e relazione di ragione nel Creatore: Crea(a,y) e Sost(a,y) sono qui definite come equivalenti, in ogni mondo, a fatti che riguardano esclusivamente y (il suo essere creato, il suo essere dipendente, e con essi implicitamente la sua esistenza) congiunti con A(a), che è già necessario in ogni mondo per box Ex(a) e per l’assioma delle proprietà dell’Assoluto. Il predicato Crea o Sost, applicato ad a, non introduce dunque alcuna determinazione ulteriore di a: si limita a registrare, sotto un nome relazionale, un fatto interamente collocato dal lato della creatura.

TEOREMA (assenza di mutamento estrinseco nell’Assoluto). Per ogni individuo relativo y e per ogni coppia di mondi w1, w2 accessibili tra loro, se il valore di verità di Sost(a,y) (o di Crea(a,y)) differisce tra w1 e w2, tale differenza non comporta alcuna differenza tra l’estensione dei predicati intrinseci di a (Inc, At, Aut, Im) in w1 e la loro estensione in w2.

Dimostrazione. Per (REL-SOST), Sost(a,y) in un mondo w è equivalente, dato A(a) (necessario per box Ex(a) e per l’assioma della sezione 8), a Dep(y) in w. Se Sost(a,y) vale in w1 e non in w2, allora, per la biimplicazione necessaria, Dep(y) vale in w1 e non in w2 - il che, dato che Dep(y) è atomica e presuppone Ex(y), comporta anche una differenza in Ex(y) tra w1 e w2: la differenza è quindi interamente localizzata nella variazione di predicati riferiti a y (segnatamente Ex(y), già stabilito come non-box per ogni y relativo, sezione 7), non in alcuna variazione di predicati riferiti ad a. Ma box Inc(a), box At(a), box Aut(a), box Im(a) valgono, per l’assioma della sezione 8, in ogni mondo senza eccezione, indipendentemente dal valore di Ex(y): dunque la loro estensione in w1 coincide con la loro estensione in w2. QED.

Questo risultato rende conto, in termini interamente formali, di ciò che la sezione 1 esprime discorsivamente affermando che l’Assoluto non “incontra” il tempo né muta quando crea: l’inizio dell’esistenza di una creatura è, nel modello, l’inizio del suo proprio dominio D_I(w) - non un evento che si registri come cambiamento in alcun predicato di a. Si noti, infine, che questa stessa tecnica di riduzione era già stata impiegata, senza essere allora nominata esplicitamente come tale, nella sezione 10: la contingenza di Incarnazione(l) vi era interamente ricondotta alla contingenza di Exn(nh), un fatto riguardante la natura assunta, non un fatto che intacchi l’immutabilità di l medesimo (box Im(l), Teorema 3). La presente sezione non introduce quindi un correttivo isolato, ma nomina e generalizza un principio - la riconduzione di ogni relazione dell’Assoluto con il Relativo a fatti interamente collocati dal lato del Relativo - che il calcolo già osservava implicitamente fin dalla trattazione dell’Incarnazione.

9. ASSIOMI - TEORIA DELLE NATURE E DEL SUPPOSITO

Distinzione tra nature, necessaria:

box forall n1 forall n2 ((NAss(n1) & NRel(n2)) -> n1 != n2)

Ogni persona, in ogni mondo in cui esiste, sussume almeno una natura - relazione che dipende dall’esistenza contingente sia della persona sia della natura sussunta, e che quindi non è mai essa stessa necessaria in sé, pur presupponendo, quando vale, l’esistenza attuale di entrambi i relata (per la convenzione di libertà esistenziale della sezione 7):

forall x (Persona(x) -> exists n Sussume(x,n))

La relazione Sussume(x,n) non è rigida: uno stesso individuo può sussumere nature diverse in mondi diversi, e può sussumere in un mondo una natura che in un altro mondo non esiste affatto (perché quella natura, se relativa, non è tra quelle necessariamente esistenti). Questa non-rigidità di Sussume è precisamente ciò che permette, nella sezione seguente, di trattare l’Incarnazione come evento che vale in alcuni mondi accessibili e non in altri, pur riguardando un medesimo individuo rigidamente designato (l).

10. ASSIOMI - CRISTOLOGIA FORMALE

Il Logos, in ogni mondo (essendo box Ex(l) stabilito nella sezione 7):

A(l) Persona(l) exists n (NAss(n) & Sussume(l,n)) box (A(l) & Persona(l)) [proprietà essenziali, vere in ogni mondo]

Il Logos appartiene all’ordine dell’Assoluto e, in quanto persona, sussume necessariamente una natura assoluta - senza che questo introduca una duplicazione: A(l) e la sussunzione della natura assoluta descrivono, a livelli diversi (quello del supposito e quello del principio formale del suo operare), la medesima condizione del Logos, vera in ogni mondo.

La natura umana concreta nh, introdotta come costante nella sezione 7, è per definizione una natura relativa, e quindi - per l’assioma della sezione 7 sulle nature relative - esiste solo contingentemente:

NRel(nh) diamond Exn(nh) not box Exn(nh)

Incarnazione, definita in termini della sussunzione di nh da parte di l:

Incarnazione(l) <-> Persona(l) & Exn(nh) & Sussume(l,nh) & exists n1 (NAss(n1) & Sussume(l,n1))

Per la convenzione di libertà esistenziale, Sussume(l,nh) può essere vero in un mondo w solo se Exn(nh) vale in w; poiché Exn(nh) è contingente (diamond Exn(nh) & not box Exn(nh)), anche Incarnazione(l) eredita questa contingenza, senza bisogno di postularla come clausola separata:

diamond Incarnazione(l) [segue da diamond Exn(nh), per S5] not box Incarnazione(l) [segue da not box Exn(nh), per S5]

Questo è precisamente il modo in cui il sistema rende conto, formalmente, dell’Incarnazione come evento che introduce un nuovo modo d’essere del Logos in alcuni mondi accessibili e non in altri: non mediante una clausola primitiva di contingenza aggiunta a parte, ma come conseguenza diretta della variabilità del dominio delle nature relative, di cui nh è un caso specifico. Il Logos (l) esiste rigidamente in ogni mondo; ciò che varia da mondo a mondo non è l’esistenza del soggetto, ma la sua relazione di sussunzione con una natura la cui esistenza è essa stessa contingente.

Distinzione delle nature sussunte, necessaria:

box forall n1 forall n2 ((Sussume(l,n1) & Sussume(l,n2) & n1 != n2) -> not (NAss(n1) & NAss(n2)) & not (NRel(n1) & NRel(n2)))

Le nature sussunte restano distinte, senza che ciò comporti una duplicazione della persona - il supposito resta unico anche nei mondi in cui le nature sussunte sono due.

Conseguenze dell’Incarnazione per il Logos incarnato, valide nei mondi in cui Incarnazione(l) vale:

Incarnazione(l) -> Im(l) & At(l) & Aut(l)

La necessità di questa immutabilità, relativizzata ai soli mondi in cui vale l’Incarnazione, richiede una premessa distinta da quella che rende conto della sola contingenza dell’evento: l’immutabilità appartiene alla natura assoluta sussunta da l in ogni mondo (essendo NAss(n1) posseduta necessariamente, per l’assioma della sezione 9), non alla sussunzione ulteriore, contingente, della natura relativa. Da qui:

forall n (Sussume(l,n) & NAss(n) -> box Im(l))

il quale, combinato con l’esistenza necessaria della natura assoluta sussunta (box exists n1 (NAss(n1) & Sussume(l,n1)), stabilito sopra), fornisce senza ulteriori ipotesi:

box (A(l) -> Im(l))

Si ottengono così, in un’unica derivazione motivata dalla sola semantica dei domini variabili, due risultati che nella versione precedente di questo apparato erano tenuti insieme solo per stipulazione distinta: l’immutabilità del Logos è necessaria in ogni mondo in cui l esiste (cioè in ogni mondo, per box Ex(l)), mentre l’Incarnazione resta un evento contingente, vero solo in alcuni mondi accessibili.

10.1 STABILITÀ DELL’INCARNAZIONE: UN ASSIOMA DI PERMANENZA

Un ulteriore assioma, distinto da quelli finora posti, riguarda non l’origine dell’Incarnazione ma la sua permanenza una volta realizzata. La tradizione teologica afferma che l’unione ipostatica, libera nella sua origine, non è mai revocata: il Logos non depone la natura assunta. Si formalizza questo con:

(STAB) Incarnazione(l) -> box Incarnazione(l)

Si tratta di un assioma, non di un teorema derivato da quanto precede: a differenza della necessità dell’immutabilità (box (A(l)->Im(l)), dimostrata sopra dalla sola sussunzione della natura assoluta), la permanenza dell’Incarnazione non segue da alcuna proprietà già posta - la si assume come impegno teologico specifico, motivato dalla dottrina della stabilità dell’unione ipostatica, non dalla sola logica del sistema.

Conseguenza semantica di (STAB), da rendere esplicita per evitare un fraintendimento sulla portata di “diamond Incarnazione(l)” e “not box Incarnazione(l)” impiegati sopra. Poiché Racc è una relazione di equivalenza (schema S5), essa partiziona l’insieme dei mondi W in classi di equivalenza (cluster), ciascuna internamente satura di accessibilità reciproca. Per (STAB), se Incarnazione(l) vale in un mondo w di un cluster C, allora vale in ogni mondo accessibile da w, cioè in ogni mondo di C: Incarnazione(l) ha dunque valore di verità costante entro ciascun cluster, per quanto possa differire da cluster a cluster. Ne segue che l’espressione “not box Incarnazione(l)”, impiegata sopra e nel Teorema 3bis, va intesa correttamente non come “esiste un mondo accessibile dall’interno del cluster attuale in cui l’Incarnazione non vale” - il che (STAB) ora esclude, entro un medesimo cluster - ma come “esiste, nell’insieme complessivo dei mondi del modello, un cluster (necessariamente non accessibile da quello attuale) in cui l’Incarnazione non vale mai”. La contingenza dell’Incarnazione si sposta così, con (STAB), dal livello del singolo mondo entro un cluster fissato al livello della scelta del cluster stesso: resta autenticamente contingente se il mondo attuale appartenga a un cluster in cui l’Incarnazione si dà oppure no, mentre, dato un cluster, la risposta è la medesima in ogni suo mondo. Questo affinamento richiede una revisione del modello esplicito della sezione 17.1, dove si mostrerà come costruire, concretamente, due cluster distinti e reciprocamente inaccessibili che soddisfano (STAB) senza perdere la dimostrazione della contingenza esistenziale degli individui relativi.

10.2 UNICITÀ E STORICITÀ DELL’INCARNAZIONE

Alla contingenza dell’origine (sezione 10) e alla permanenza una volta data (STAB, sezione 10.1), si aggiunge ora una terza tesi, di diversa natura: l’Incarnazione non è soltanto contingente e permanente, ma unica - avviene una sola volta, e non ripetutamente né in più forme - e storica, cioè localizzata nell’ordine del Relativo materiale, pur restando, quanto all’atto stesso, priva di successione. Queste tre affermazioni (“una sola volta”, “in questo universo di sostanza materiale”, “eterna”) richiedono tre trattamenti formali distinti, e l’ultima si rivela più impegnativa delle prime due.

Unicità della natura assunta. Si esclude che il Logos possa sussumere, in qualunque mondo o cluster del modello, una natura relativa diversa da nh:

(UNI-NAT) box forall n (NRel(n) & Sussume(l,n) -> n = nh)

Questo assioma, aggiunto a quanto già posto nella sezione 10, esclude formalmente la possibilità di incarnazioni molteplici o ripetute attraverso nature relative distinte: qualunque sia il mondo o il cluster considerato, se il Logos sussume una natura relativa, quella natura è nh e nessun’altra. Non esclude, di per sé, che vi siano più mondi in cui nh è assunta (questo è già governato da STAB, che li raccoglie in un unico cluster costante); esclude che possano darsene altre, distinte da nh, in qualche mondo del modello.

Eternità dell’atto, storicità dell’effetto. Qui non serve alcun nuovo assioma: il sistema lo ha già dimostrato. L’assioma della sezione 10 stabilisce Incarnazione(l) -> Im(l) & At(l) & Aut(l): il Logos incarnato resta atemporale (At(l)) precisamente in virtù della natura assoluta che continua a sussumere. L’atto per cui il Logos sussume nh non è dunque un evento collocato in una successione temporale dal lato dell’Assoluto - è, nei termini già impiegati nella sezione 1 e nella sezione 8.1 a proposito di Crea e Sost, il medesimo tipo di atto unico ed eterno, identico all’essenza del Logos, di cui Agostino e Tommaso parlano a proposito della creazione. Ciò che è temporale, storico, collocato in una successione, non è l’atto ma il suo effetto: l’esistenza di nh come natura relativa realmente assunta, e la conseguente esistenza storica del supposito incarnato nell’ordine del Relativo materiale (per U(y) & R(y) & Mat(y), applicati a chi porta nh). “Storica” ed “eterna” non sono dunque in tensione, per la stessa ragione per cui non lo sono “sostenente in eterno” e “la creatura inizia a un dato istante”: la storicità appartiene al Relativo che riceve, l’eternità all’atto dell’Assoluto che dona.

Unicità del cluster: un limite del linguaggio object-level. La terza tesi - “avviene solo in questo universo” - è la più impegnativa da formalizzare, e onestamente non è esprimibile con i soli box e diamond del calcolo Λ. Il motivo è strutturale: in S5, box e diamond, valutati in un mondo w, quantificano esclusivamente sui mondi accessibili da w - cioè, dato che Racc partiziona W in cluster (sezione 10.1), esclusivamente sui mondi del cluster di w. Nessuna formula del linguaggio, per quanto ricca di box e diamond, può dunque affermare o negare qualcosa su un cluster diverso da quello in cui la si valuta: chiedere che “al più un cluster nell’intero W” soddisfi una data proprietà è una richiesta che attraversa i confini dell’accessibilità, e i confini dell’accessibilità sono esattamente ciò che box e diamond non possono attraversare per costruzione.

Per esprimere questa unicità, occorre dunque salire di un livello: non un assioma della teoria T, ma una condizione di cornice (frame condition) sulla classe di modelli ammissibili - dello stesso tipo logico delle condizioni già poste per Racc (relazione di equivalenza, sezione 7) o per D_P (dominio costante, sezione 14), che non sono enunciati derivabili dall’interno del linguaggio, ma vincoli imposti alla struttura M = <W, Racc, D_I, D_N, D_P, J> stessa:

(FRAME-UNICA) Per ogni modello ammissibile M, esiste al più un cluster C (una classe di equivalenza di Racc) tale che Incarnazione(l) valga in ogni mondo di C.

Questa non è una formula che un mondo possa “verificare” guardando solo ai mondi a cui accede: è una proprietà del modello preso nella sua interezza, imposta dall’esterno esattamente come si impone che Racc sia un’equivalenza. Il documento proposto in precedenza per lo sviluppo futuro (logiche ibride con operatori @, ovvero nominali che designano un mondo specifico indipendentemente dall’accessibilità) indica correttamente la via per rendere, un giorno, questa condizione interna al linguaggio anziché esterna a esso: un operatore @_i che permetta di nominare un mondo o un cluster specifico e confrontarlo con altri attraverso i confini dell’accessibilità è precisamente ciò che servirebbe per scrivere (FRAME-UNICA) come formula, anziché come vincolo di cornice. Finché il calcolo Λ resta puro S5 senza nominali, questa resta, onestamente, una tesi extra-logica imposta al modello, non un teorema del sistema - una limitazione dichiarata, non nascosta.

Nel modello esplicito della sezione 17.1, (FRAME-UNICA) è soddisfatta banalmente: dei due cluster del modello, solo il cluster A (w0a, w0b) soddisfa Incarnazione(l) costantemente; il cluster B (w1a, w1b) non la soddisfa mai. Qualunque estensione futura del modello a più di due cluster dovrà preservare questa disciplina: al più uno di essi potrà avere Incarnazione(l) costantemente vera.

11. ASSIOMI - ANTROPOLOGIA

forall y (U(y) -> R(y) & not exists s AnimaSeparata(s,y))

forall y (U(y) -> exists n (NRel(n) & Sussume(y,n)))

Poiché U(y) implica R(y), e per la sezione 8 R(y) implica not box Ex(y), nessun uomo esiste necessariamente: l’esistenza di ciascun essere umano è contingente in ogni mondo accessibile in cui non è dato, così come la natura relativa che ciascun uomo sussume:

forall y (U(y) -> not box Ex(y))

L’uomo appartiene interamente all’ordine del Relativo e sussume, attraverso il proprio supposito personale, una natura relativa - mai una natura assoluta, per l’assioma di distinzione tra nature (sezione 9).

12. ASSIOMI - EPISTEMOLOGIA

Il dominio delle Proposizioni è, per convenzione (sezione 7), costante: Exp(p) vale in ogni mondo per ogni p introdotta nel linguaggio. Ciò che varia da mondo a mondo non è l’esistenza delle proposizioni, ma la loro verità, la loro conoscenza da parte di un dato soggetto, e l’esistenza stessa del soggetto conoscente.

Conoscenza:

forall y forall p (Conosce(y,p) <-> Cred(y,p) & Vera(p) & Fondata(y,p) & PartP(y,p))

Poiché Conosce(y,p) presuppone, per la convenzione di libertà esistenziale, l’esistenza di y nel mondo di valutazione, e y è tipicamente relativo, Conosce(y,p) non è mai necessario in sé, anche quando p è necessariamente vera:

forall y forall p (R(y) -> not box Conosce(y,p))

Partecipazione intelligibile, come proprietà stabile del Relativo in quanto tale - necessaria condizionatamente all’esistenza di y come relativo, non assolutamente:

forall y (R(y) -> PartL(y)) box forall y (R(y) -> PartL(y))

Questa seconda formula non afferma che ogni y partecipi al Logos in ogni mondo assolutamente, ma che, in ogni mondo accessibile in cui un dato y esiste ed è relativo, esso vi partecipa: la necessità è interna al condizionale, non applicata a PartL(y) isolatamente.

Inefficacia ontologica della sola conoscenza, necessaria per la stessa ragione che rende necessaria la distinzione ontologica (sezione 8):

box forall y forall p (Utile(y,p) -> exists x (A(x) & x = y)) box forall y (R(y) -> forall p not Utile(y,p))

Modo del conoscere: identità per l’Assoluto, ricezione per il Relativo. Si introducono due nuovi predicati, entrambi di segnatura I x P:

IdentitaCognitiva(x,p): l’atto con cui x conosce p coincide con l’essere stesso di ciò che rende p vera, senza mediazione. Ricezione(y,p): y conosce p per ricezione e traduzione da una fonte esterna a sé.

(MODO-A) box forall x forall p (A(x) & Vera(p) -> Conosce(x,p) & IdentitaCognitiva(x,p))

(MODO-R) box forall y forall p (R(y) & Conosce(y,p) -> Ricezione(y,p) & not IdentitaCognitiva(y,p))

MODO-A afferma che ogni ente assoluto conosce, per identità, ogni proposizione vera, in ogni mondo senza eccezione: la sua conoscenza non è un processo, poiché non presuppone alcun passaggio da uno stato di minor completezza a uno di maggiore - box, per un ente il cui box Im(x) già esclude ogni potenzialità inattuata (sezione 8). MODO-R afferma che, per il Relativo, ogni caso di conoscenza è mediato e mai per identità: i due predicati non sono simmetrici, coerentemente con l’asimmetria posta fin dalla sezione 8.

Inesauribilità strutturale della conoscenza relativa:

(INF-POT) box forall y (R(y) -> not forall p (Vera(p) -> Conosce(y,p)))

Nessun ente relativo, in alcun mondo, conosce la totalità delle proposizioni vere. Congiunta a MODO-A, questa clausola rende esplicito un contrasto che regge senza bisogno di ulteriori assiomi:

TEOREMA (pienezza atemporale contro incompletezza costitutiva). Per ogni mondo w e per l’Assoluto a, Conosce(a,p) vale per ogni p tale che Vera(p) valga in w (da MODO-A); per ogni y relativo e ogni mondo w in cui y esiste, esiste una proposizione vera che y non conosce (da INF-POT). La prima non è un traguardo raggiunto al termine di un processo, poiché At(a) (sezione 10) esclude che vi sia, in a, una qualunque successione rispetto a cui il conoscere potrebbe dirsi “raggiunto”; la seconda non è un difetto contingente e correggibile in una fase particolare, ma una condizione che vale in ogni mondo in cui R(y) vale, indipendentemente da quanto y abbia già appreso.

Limite dichiarato: l’aspetto propriamente processuale dell’inesauribilità di R - il fatto che la conoscenza relativa non solo sia sempre parziale, ma si accresca per accumulo successivo, un incremento discreto che richiama la struttura n -> n+1 di un’enumerazione - non è catturato da (INF-POT), che afferma soltanto l’incompletezza in ogni singolo mondo, non una relazione d’ordine tra stati di conoscenza progressivamente più ampi. Una formalizzazione piena di questo aspetto richiederebbe una struttura temporale esplicita - una quarta sorta di istanti con una relazione di successione, e operatori temporali (nel senso di CTL* o LTL) distinti dagli operatori modali box e diamond qui impiegati, che restano propri di una logica di mondi possibili, non di istanti ordinati. Questa è una direzione di sviluppo dichiarata, non eseguita: lo schema S5 puro, per la stessa ragione già incontrata a proposito di FRAME-UNICA (sezione 10.2), non è lo strumento adatto a rappresentare una successione, essendo Racc una relazione di equivalenza e non un ordine.

13. ASSIOMI - SOTERIOLOGIA

Accettazione del Logos incarnato - relazione contingente, che presuppone l’esistenza contingente sia di y sia, nei mondi rilevanti, dell’evento Incarnazione(l):

forall y (R(y) & Accetta(y,l) -> Trasforma(y))

Per la convenzione di libertà esistenziale, Accetta(y,l) può valere in un mondo w solo se, in w, vale anche Incarnazione(l) (l’accettazione di un evento presuppone l’esistenza di ciò che è accettato):

forall y (Accetta(y,l) -> Incarnazione(l))

Natura della trasformazione, anch’essa contingente in sé, ma con conseguenze necessarie una volta data:

forall y (Trasforma(y) -> not exists x (A(x) & x = y)) box forall y (Trasforma(y) -> PartL(y) & AutR(y))

In prospettiva modale: la trasformazione è possibile per ogni relativo che accetti, non necessaria in sé (dipende dalla libertà dell’accettazione, e a monte dalla contingenza stessa dell’Incarnazione), ma una volta realizzata comporta con necessità le sue conseguenze proprie:

diamond exists y Trasforma(y) box forall y (Trasforma(y) -> AutR(y))

14. SEMANTICA MODALE S5

Il modello semantico può essere descritto come una struttura composta da: un insieme W di mondi possibili; una relazione di accessibilità Racc su W, di equivalenza (riflessiva, simmetrica, transitiva), propria dello schema S5; un dominio di Individui D_I(w) e un dominio di Nature D_N(w) associati a ciascun mondo w, variabili al variare di w; un dominio di Proposizioni D_P, costante su tutti i mondi; e una funzione di interpretazione che assegna, per ciascun mondo, l’estensione di ogni predicato relativamente ai domini di quel mondo.

L’Assoluto è descritto come necessario e immutabile. La semantica S5 rappresenta tale tesi mediante l’invarianza delle proprietà essenziali in tutti i mondi accessibili dal mondo attuale - e poiché in S5 l’accessibilità è relazione di equivalenza, questo equivale a dire: in tutti i mondi possibili senza eccezione. Va precisato che l’espressione “unico mondo necessario”, talvolta usata in senso divulgativo per descrivere l’immutabilità dell’Assoluto, non va confusa con l’esistenza tecnica di un solo mondo nel modello semantico: il dominio W può contenere molti mondi distinti, che differiscono tra loro proprio per la composizione del dominio degli Individui e delle Nature relative (quali uomini esistono, se nh è stata assunta o no, e così via), mentre la necessità esprime la verità di un enunciato in tutti i mondi accessibili, non l’esistenza di un unico mondo. Il modello è quindi ricco di possibilità distinte per l’ordine del Relativo - inclusa la possibilità, ora resa esplicita nella sezione 10, che l’Incarnazione valga in sottoinsiemi propri di W e non nella totalità di W - mantenendo comunque invariate, in ciascun mondo senza eccezione, le proprietà proprie dell’Assoluto, il cui dominio D_I ristretto agli enti assoluti è, in questo senso, l’unica porzione a dominio costante dell’intero modello. Va aggiunto, dopo l’introduzione dell’assioma di permanenza (STAB, sezione 10.1), che il sottoinsieme di W in cui vale l’Incarnazione non è un sottoinsieme arbitrario, ma un’unione di cluster interi rispetto a Racc: per (STAB), se Incarnazione(l) vale in un mondo di un cluster, vale in tutto quel cluster.

box (A(l) -> Im(l)) & diamond Incarnazione(l) & exists C (cluster C non accessibile dal mondo attuale & forall w in C not Incarnazione(l) at w)

L’immutabilità del Logos in quanto Assoluto è necessaria in ogni mondo del dominio W; la sua Incarnazione, per (STAB), è costante entro ciascun cluster e può variare solo da un cluster all’altro - le affermazioni coesistono senza tensione perché la prima riguarda una proprietà dell’individuo rigidamente designato l, la seconda una relazione di quell’individuo con un elemento del dominio variabile delle nature, relazione la cui variabilità è ora localizzata al livello dei cluster anziché al livello dei singoli mondi entro un cluster fissato.

15. TEOREMI DEL SISTEMA

Teorema 1 (esclusione ontologica necessaria):

box not exists y (R(y) & A(y))

Il teorema deriva direttamente dall’assioma di esclusione ontologica della sezione 8, che è ora posto come necessario (box) fin dalla sua formulazione, anziché derivato da un’ipotesi di necessità aggiunta a parte.

Teorema 2 (doppia sussunzione nell’Incarnazione):

Incarnazione(l) -> exists n1 exists n2 (Sussume(l,n1) & Sussume(l,n2))

Il risultato segue immediatamente dalla definizione dell’Incarnazione data nella sezione 10.

Teorema 3 (necessità dell’immutabilità del Logos, in ogni mondo in cui esiste, indipendentemente dall’Incarnazione):

box (A(l) -> Im(l))

A differenza della versione precedente di questo teorema, che richiedeva un’ipotesi aggiuntiva non derivata dagli assiomi di base, la presente formulazione segue ora direttamente dalla combinazione di due risultati già stabiliti nella sezione 10: l’esistenza necessaria della natura assoluta sussunta da l in ogni mondo, e l’assioma per cui la sussunzione di una natura assoluta comporta necessariamente l’immutabilità del supposito che la sussume. Nessuna ipotesi ulteriore, oltre agli assiomi delle sezioni 7-10, è richiesta.

Teorema 3bis (contingenza dell’Incarnazione come variazione tra cluster, non tra mondi di un medesimo cluster):

diamond Incarnazione(l) & exists C (C cluster non accessibile dal cluster attuale & forall w in C not Incarnazione(l) at w)

Questo teorema sostituisce, alla luce dell’assioma di permanenza (STAB, sezione 10.1), la formulazione precedente diamond Incarnazione(l) & not box Incarnazione(l): quest’ultima, presa alla lettera dopo l’introduzione di (STAB), risulterebbe incoerente se il mondo che testimonia not box Incarnazione(l) appartenesse al medesimo cluster del mondo attuale, poiché (STAB) rende Incarnazione(l) costante entro un cluster. La contingenza genuina dell’Incarnazione si colloca quindi al livello della struttura dei cluster: la verità di Incarnazione(l) in un mondo w dipende dalla verità di Exn(nh) in w, e (STAB), applicato insieme a NRel(nh) e alla contingenza di Exn(nh) sezione 9, comporta che Exn(nh) stessa sia costante entro ciascun cluster in cui Incarnazione(l) è definita a partire da essa - la variabilità di Exn(nh) descritta nella sezione 9 va dunque intesa, coerentemente con quanto qui aggiunto, come variabilità tra cluster, non entro un cluster fissato. Questo è l’esempio concreto, richiesto in sede di valutazione critica (sezione 16), di come la scelta di un dominio variabile per le nature relative renda conto, senza clausole ad hoc, di un evento che introduce un nuovo modo d’essere del Logos in alcuni cluster di mondi e non in altri, una volta che se ne assuma anche la permanenza.

Teorema 4 (possibilità dell’autonomia relativa):

Accetta(y,l) -> diamond AutR(y)

Il teorema richiede che l’accettazione implichi la trasformazione (sezione 13, primo assioma) e che la trasformazione renda possibile l’autonomia relativa (sezione 13, assiomi su Trasforma); la catena delle due implicazioni fornisce la conclusione.

Teorema 5 (dilemma dei due corni e unidirezionalità della grazia):

Per ogni y tale che R(y), vale la seguente disgiunzione esaustiva, derivata dagli assiomi della sezione 8:

forall y (R(y) -> (A(y) or not A(y)))

Per l’assioma di distinzione ontologica (sezione 8, primo e secondo assioma), il primo disgiunto è sempre falso quando R(y) è vero:

R(y) -> not A(y)

Per l’assioma di inefficacia ontologica della conoscenza (sezione 12) e per l’assenza, in ogni assioma della sezione 13, di una derivazione di Trasforma(y) a partire da un predicato interno a y (grado di conoscenza, virtù, merito, perfezionamento), si ha che nessun predicato definibile esclusivamente su y implica A(y) o l’annullamento della distinzione ontologica:

not exists Pred (forall y (R(y) & Pred(y) -> exists x (A(x) & x = y)))

dove Pred varia sui predicati costruibili a partire dai soli simboli riferiti internamente al soggetto relativo (conoscenza, virtù, partecipazione ordinaria). Ne segue che l’unica condizione da cui il sistema deriva Trasforma(y) è quella che coinvolge essenzialmente un’iniziativa non originata da y:

forall y (Trasforma(y) -> Accetta(y,l))

e Accetta(y,l) presuppone a sua volta, per la definizione di Incarnazione(l) data nella sezione 10, un atto la cui origine si colloca nel Logos e non nel soggetto relativo. La combinazione dei tre risultati precedenti costituisce la dimostrazione formale del dilemma discusso nella sezione 6.1: dato R(y), il salto tra y e a non è colmabile da alcun predicato costruito internamente a y, ed è colmabile esclusivamente per una relazione la cui iniziativa procede da a verso y, mai il contrario.

16. VALUTAZIONE LOGICA E FILOSOFICA

Il sistema distingue il soggetto dalla natura, l’Assoluto dal Relativo e la partecipazione dall’identità. La cristologia formale è costruita intorno alla sussunzione di due nature distinte da parte di un unico soggetto personale, secondo lo schema classico dell’unione ipostatica, tradotto qui in termini di logica del primo ordine arricchita da operatori modali.

Va detto con chiarezza che la coerenza e la completezza del sistema non sono garantite dalla sola esposizione degli assiomi in quanto tale. La coerenza richiede la costruzione di un modello che soddisfi simultaneamente tutti gli assiomi senza produrre contraddizioni derivabili; la completezza richiederebbe una teoria formale della dimostrazione, una semantica precisamente definita, e una relazione dimostrata di corrispondenza tra derivabilità sintattica e validità semantica (un teorema di correttezza e completezza nel senso tecnico del termine). Le sezioni 17-21 forniscono ora tutti e tre questi elementi in modo esplicito: un modello concreto, costruito a mano (sezione 17); il calcolo deduttivo Λ scritto simbolo per simbolo, distinto dalla teoria metafisica T (sezioni 18-19); e le dimostrazioni di correttezza e di completezza per Λ, quest’ultima ottenuta per riduzione a un calcolo a una sola sorta e costruzione del modello canonico (sezioni 20-21).

La sezione 7 rende ora esplicita la scelta semantica dei domini (costante per il dominio delle Proposizioni, variabile per i domini degli Individui e delle Nature, con esistenza necessaria ristretta agli enti e alle nature assolute) e applica in modo uniforme, tramite la convenzione di libertà esistenziale, gli operatori modali a ogni predicato del sistema - risolvendo così, nei limiti di quanto un apparato assiomatico può risolvere, i due punti aperti nella versione precedente di questo trattato: la modalizzazione parziale e la mancata specificazione del dominio di quantificazione. Resta comunque vero, e va detto con la medesima chiarezza, che questa specificazione semantica non equivale a una dimostrazione di coerenza: mostra come il sistema possa essere interpretato in un modello a domini variabili senza contraddizioni emerse finora, non che un tale modello esista necessariamente e sia privo di contraddizioni non ancora rilevate. Restano inoltre aperti, oltre ai punti di coerenza e completezza già segnalati sopra: una trattazione esplicita dell’identità transmondana per gli individui relativi (come si stabilisce che un dato y nel mondo w1 sia lo stesso individuo di un y nel mondo w2, questione distinta dalla sola esistenza o non esistenza); e una teoria assiomatica esplicita per il predicato Fondata(y,p), qui lasciato primitivo, che una trattazione completa dell’epistemologia dovrebbe articolare in termini di una relazione di giustificazione con condizioni proprie.

17. COSTRUZIONE DI UN MODELLO E ARCHITETTURA DELLA COMPLETEZZA

17.1 Un modello esplicito a quattro mondi, due cluster

Si costruisce qui un modello concreto e finito, verificabile a mano assioma per assioma, che soddisfa simultaneamente tutti gli assiomi delle sezioni 8-13, incluso l’assioma di permanenza (STAB, sezione 10.1). Rispetto a una prima versione di questo modello, a due soli mondi mutuamente accessibili, la presente versione ne richiede quattro, organizzati in due cluster reciprocamente inaccessibili: un solo cluster, per quanto ricco di mondi, non basterebbe a mostrare insieme sia la costanza dell’Incarnazione entro un cluster (richiesta da STAB) sia la contingenza dell’esistenza dei singoli individui relativi (richiesta dalla sezione 7), poiché la prima esige che due mondi con Incarnazione discorde non siano reciprocamente accessibili, mentre la seconda esige che vi siano mondi reciprocamente accessibili in cui uno stesso individuo esiste e non esiste.

Struttura del modello:

W = {w0a, w0b, w1a, w1b}

Racc: riflessiva su tutti e quattro; w0a Racc w0b e w0b Racc w0a (simmetria entro il cluster A); w1a Racc w1b e w1b Racc w1a (simmetria entro il cluster B); nessuna coppia tra {w0a,w0b} e {w1a,w1b}. Questa è una relazione di equivalenza genuina su W (riflessiva, simmetrica, transitiva), che induce due classi di equivalenza disgiunte - il cluster A = {w0a,w0b} e il cluster B = {w1a,w1b} - senza che vi sia alcuna violazione degli schemi S5.1-S5.3: un’equivalenza su un insieme non richiede che l’insieme sia una sola classe.

Dominio degli Individui:

D_I(w0a) = {a, l, u1} D_I(w0b) = {a, l, u3} D_I(w1a) = {a, l, u2} D_I(w1b) = {a, l, u4}

Dominio delle Nature:

D_N(w0a) = {n_abs, nh, n_u1} D_N(w0b) = {n_abs, nh, n_u3} D_N(w1a) = {n_abs, n_u2} D_N(w1b) = {n_abs, n_u4}

Dominio delle Proposizioni (costante su tutti e quattro i mondi):

D_P = {p1, p2} p1 = la proposizione “l è Assoluto”, vera in tutti e quattro i mondi p2 = una seconda proposizione, anch’essa vera in tutti e quattro i mondi, priva di ruolo speciale oltre a testimoniare (INF-POT)

Interpretazione dei predicati:

In tutti e quattro i mondi: A(a), A(l); Inc, At, Aut, Im veri per a e per l; Persona(l); Sussume(l,n_abs); NAss(n_abs). Inoltre, per (MODO-A): Cred, Fondata, PartP di a e di l rispetto a p1 e a p2 tutti veri, dunque Conosce(a,p1), Conosce(a,p2), Conosce(l,p1), Conosce(l,p2) tutti veri in ogni mondo, e IdentitaCognitiva(a,p1), IdentitaCognitiva(a,p2), IdentitaCognitiva(l,p1), IdentitaCognitiva(l,p2) tutti veri per stipulazione diretta dell’assioma.

In w0a e w0b (cluster A, Incarnazione costantemente vera): Exn(nh); NRel(nh); Sussume(l,nh); Incarnazione(l). Questa costanza entro il cluster è precisamente ciò che (STAB) richiede, e qui è imposta per costruzione, non verificata a posteriori.

In w1a e w1b (cluster B, Incarnazione costantemente falsa): Exn(nh) falso, dunque, per la convenzione di libertà esistenziale, Sussume(l,nh) e Incarnazione(l) falsi in entrambi.

Solo in w0a: R(u1); U(u1); Crt,Dep,Tem,Spa,Mat(u1); Crea(a,u1); Sost(a,u1); Persona(u1); NRel(n_u1); Sussume(u1,n_u1); PartL(u1); Cred(u1,p1), Vera(p1), Fondata(u1,p1), PartP(u1,p1), dunque Conosce(u1,p1); Accetta(u1,l); Trasforma(u1); AutR(u1).

Solo in w0b: R(u3); U(u3); Crt,Dep,Tem,Spa,Mat(u3); Crea(a,u3); Sost(a,u3); Persona(u3); NRel(n_u3); Sussume(u3,n_u3); PartL(u3); Vera(p1) (vera anche qui); Cred(u3,p1) falso; Accetta(u3,l) falso, per libera scelta di u3 nonostante Incarnazione(l) sia vera in w0b - mostrando che S3 lega Trasforma ad Accetta&Incarnazione congiuntamente, non a Incarnazione da sola; Trasforma(u3) falso.

Solo in w1a: R(u2); U(u2); Crt,Dep,Tem,Spa,Mat(u2); Crea(a,u2); Sost(a,u2); Persona(u2); NRel(n_u2); Sussume(u2,n_u2); PartL(u2); Vera(p1) vera; Cred(u2,p1) falso; Accetta(u2,l) falso (obbligato, essendo Incarnazione(l) falsa in w1a); Trasforma(u2) falso.

Solo in w1b: R(u4); U(u4); Crt,Dep,Tem,Spa,Mat(u4); Crea(a,u4); Sost(a,u4); Persona(u4); NRel(n_u4); Sussume(u4,n_u4); PartL(u4); Accetta(u4,l) falso (obbligato); Trasforma(u4) falso.

Ovunque falsi, per costruzione: AnimaSeparata(s,y) per ogni s,y; Utile(y,p) per ogni y,p.

Verifica, gruppo per gruppo:

Sezione 8 (ontologia). In ogni mondo, a ed l soddisfano A ma non R; u1,u2,u3,u4 soddisfano R ma non A, ciascuno nel proprio mondo. Inc, At, Aut, Im valgono per a ed l in tutti e quattro i mondi, quindi box. Fondazione e sostentamento: ogni ui è creato e sostenuto da a nel proprio mondo; irriflessività e asimmetria banalmente soddisfatte. Esistenza necessaria di a ed l: Ex(a), Ex(l) veri nei quattro mondi, quindi box Ex(a), box Ex(l) (box qui quantifica sui mondi accessibili da ciascun mondo, ma essendo a ed l presenti in ogni mondo del modello, la necessità vale a fortiori in ogni cluster). Non necessità dell’esistenza dei singoli uomini: Ex(u1) vero in w0a, falso in w0b, e w0a Racc w0b: quindi not box Ex(u1), valutato in w0a. Analogamente not box Ex(u3) in w0b, not box Ex(u2) in w1a, not box Ex(u4) in w1b: la contingenza esistenziale degli individui relativi resta pienamente dimostrata, ora entro ciascun cluster anziché tra cluster.

Sezione 8.1 (relazioni di ragione). In ogni mondo in cui un dato ui esiste, Crea(a,ui) e Sost(a,ui) sono veri esattamente in corrispondenza di Crt(ui) e Dep(ui); nei mondi in cui ui non esiste, entrambi sono falsi, coerentemente con Ex(ui) falso. I predicati intrinseci di a (Inc, At, Aut, Im) restano box in ogni mondo, indipendentemente da quale ui esista dove: il teorema della sezione 8.1 resta verificato.

Sezione 9 (nature e supposito). n_abs è sempre distinta dalle nature relative. Exn(n_abs) vero in tutti e quattro i mondi: box Exn(n_abs). Per le nature individuali n_u1, n_u3, n_u2, n_u4 (ciascuna esistente in un solo mondo, non nh): not box Exn(n_ui) in ciascun caso, entro il proprio cluster - soddisfa lo schema corretto della sezione 7, ora ristretto a n != nh. Per nh: Exn(nh) vero in w0a e w0b (l’intero cluster A), falso in w1a e w1b (l’intero cluster B); valutato in w0a, box Exn(nh) risulta vero (essendo w0b l’unico altro mondo accessibile, e Exn(nh) vi è vera) - questo è esattamente l’eccezione prevista per nh nella sezione 7, non una violazione: lo schema generale, che esclude esplicitamente n = nh, non è applicabile a questo caso.

Sezione 10 e 10.1 (cristologia e permanenza). Incarnazione(l): vera in w0a e w0b, falsa in w1a e w1b - costante entro ciascun cluster, come richiesto da (STAB): non esiste, in questo modello, alcuna coppia di mondi reciprocamente accessibili in cui Incarnazione(l) assuma valori discordi, dunque (STAB) non è mai violato. diamond Incarnazione(l), valutato in w0a, è soddisfatto trivialmente (w0a stesso, per riflessività, la soddisfa). La formulazione del Teorema 3bis riveduto è soddisfatta ponendo C = cluster B: cluster non accessibile dal mondo attuale (posto w0a), in cui Incarnazione(l) è falsa in ogni mondo. box (A(l)->Im(l)): Im(l), At(l), Aut(l) valgono in tutti e quattro i mondi, poiché l sussume n_abs ovunque; il Teorema 3 resta pienamente verificato, indipendentemente dal cluster.

Sezione 10.2 (unicità e storicità). (UNI-NAT) è soddisfatta banalmente: in nessun mondo del modello l sussume una natura relativa diversa da nh - le nature n_u1, n_u3, n_u2, n_u4 sono tutte sussunte dai rispettivi ui, mai da l. (FRAME-UNICA), condizione di cornice e non formula interna, è verificata per ispezione diretta della struttura del modello nel suo complesso: tra i due cluster A e B, solo A soddisfa Incarnazione(l) costantemente; nessun terzo cluster è presente che potrebbe violare l’unicità.

Sezione 11 (antropologia). Ciascun ui soddisfa U, R, non ha AnimaSeparata, sussume una propria natura relativa individuale. La contingenza della sua esistenza è verificata come sopra, entro il proprio cluster.

Sezione 12 (epistemologia). Conosce(u1,p1) vero in w0a; falso in w0b (dove u1 non esiste): not box Conosce(u1,p1), valutato in w0a. PartL(ui) vero in ciascun mondo per il proprio ui: soddisfa forall y (R(y)->PartL(y)) ovunque, quindi anche box. Utile sempre falso: soddisfa banalmente gli assiomi corrispondenti. (MODO-A): per costruzione, Conosce(a,p) e Conosce(l,p) valgono per entrambe le proposizioni in ogni mondo, con IdentitaCognitiva stipulata vera in corrispondenza - soddisfa banalmente l’assioma, essendo a ed l presenti con le medesime proprietà in tutti e quattro i mondi. (MODO-R): ciascun ui, quando conosce qualcosa (solo u1 conosce p1, in w0a), lo fa per Ricezione, posta vera, e mai per IdentitaCognitiva, posta falsa - nessuna violazione. (INF-POT): in ogni mondo e per ciascun ui, Conosce(ui,p2) è falso (Cred(ui,p2) non è mai stipulato vero), pur essendo Vera(p2) vera: dunque not forall p (Vera(p)->Conosce(ui,p)) vale per ciascun ui in ciascun mondo, verificando l’assioma senza eccezioni.

Sezione 13 (soteriologia). In w0a, Accetta(u1,l) e Incarnazione(l) sono entrambi veri: soddisfa Accetta(y,l)->Incarnazione(l) e, insieme, S3 (Accetta&Incarnazione->Trasforma), da cui Trasforma(u1). In w0b, Incarnazione(l) è vera ma Accetta(u3,l) è posta falsa per libera scelta di u3: nessun assioma impone che Accetta segua da Incarnazione, dunque questa scelta interpretativa è pienamente legittima e mostra concretamente l’irriducibilità di Accetta(y,l) a un teorema derivato, discussa nella sezione 22. In w1a e w1b, Incarnazione(l) è falsa, dunque Accetta(u2,l) e Accetta(u4,l) sono necessariamente falsi, per lo schema S2/D4: la scelta non è qui libera nello stesso senso, essendo vincolata dall’assioma stesso a valere falsa. diamond exists y Trasforma(y): testimoniato da u1 in w0a. box forall y (Trasforma(y)->AutR(y)): soddisfatto in ogni mondo, per costruzione (Trasforma falso ovunque tranne che per u1 in w0a, dove AutR(u1) è vero).

Ogni assioma delle sezioni 8-13, incluso (STAB), risulta quindi soddisfatto in questo modello a quattro mondi, senza eccezione. Il sistema, relativamente al calcolo modale libero del primo ordine su cui è costruito, è pertanto soddisfacibile, e dunque - per la correttezza di quel calcolo - coerente.

17.2 Che cosa dimostra, e che cosa non dimostra, questo modello

Va precisato con onestà metodologica che cosa questa costruzione stabilisce e che cosa lascia aperto. Stabilisce che l’insieme degli assiomi non è contraddittorio in sé: esiste almeno una struttura matematica, definita esplicitamente, in cui tutti valgono insieme. Non verificato meccanicamente (per esempio con un dimostratore automatico o un proof assistant), il controllo qui condotto assioma per assioma resta esposto al rischio di errore umano nella verifica, come ogni dimostrazione scritta a mano - un limite che va dichiarato, non nascosto. Non stabilisce inoltre che questo sia l’unico modello possibile, né che il sistema sia categorico: si possono costruire facilmente altri modelli, con più mondi, più individui, più nature, in cui gli stessi assiomi restano ugualmente soddisfatti (per esempio un modello a tre mondi in cui esistono più uomini trasformati e altri non trasformati) - il che è filosoficamente atteso, dato che il sistema descrive verità in parte contingenti (quali uomini esistono, chi accetta) e non un’unica situazione necessitata in ogni suo dettaglio.

17.3 Architettura di una dimostrazione di completezza (schema, non dimostrazione integrale)

Una dimostrazione di completezza per il sistema richiederebbe tre elementi distinti, di cui qui si offre solo l’impalcatura, non l’esecuzione integrale:

Un sistema di dimostrazione esplicito - un calcolo alla Hilbert o un calcolo di deduzione naturale per la logica modale del primo ordine con quantificazione libera (per trattare i predicati di esistenza Ex, Exn, Exp e la restrizione delle regole di istanziazione e generalizzazione agli oggetti esistenti nel mondo di valutazione), esteso con l’identità e con gli assiomi propri dello schema S5 (in particolare l’assioma di simmetria, box p -> not box not diamond p in una delle formulazioni standard, e l’assioma di introspezione positiva e negativa per box). Sistemi di questo tipo sono stati definiti con precisione nella letteratura sulla logica modale del primo ordine a domini variabili (l’approccio di Fitting e Mendelsohn alla logica modale libera, e le trattazioni di Garson sui domini variabili, ne sono i riferimenti standard); il presente trattato non ne ripete la costruzione, ma vi si appoggia come base logica su cui sono innestati, come teoria specifica, gli assiomi propriamente metafisici delle sezioni 8-13.

Una dimostrazione di correttezza (soundness) - per induzione sulla lunghezza delle derivazioni, mostrando che ogni schema di assioma puramente logico (non gli assiomi metafisici, che sono premesse extra- logiche della teoria, non teoremi della logica sottostante) è valido in ogni modello della classe considerata (domini variabili per Individui e Nature, dominio costante per le Proposizioni, relazione di accessibilità di equivalenza), e che ogni regola di inferenza preserva la verità in un modello. Questa dimostrazione è anch’essa standard per la classe di logiche in questione e non specifica di questo trattato.

Una dimostrazione di completezza - tipicamente per costruzione di un modello canonico alla Henkin, esteso al caso modale (un modello canonico per ciascun mondo massimale consistente, con relazione di accessibilità definita in base alla consistenza delle formule necessitate) e al caso della logica libera (l’insieme degli oggetti esistenti in un mondo canonico è determinato dai termini per cui il predicato di esistenza è dimostrabile in quel mondo). Estendere questa costruzione, di per sé nota per la logica modale del primo ordine a dominio variabile, al caso a più sorte qui adottato (Individui, Nature, Proposizioni come domini distinti) è un passaggio tecnico ulteriore, non insormontabile ma non banale, che richiederebbe una trattazione a sé, qui non svolta.

Le sezioni 18-21 che seguono forniscono, in modo esplicito, i tre elementi qui indicati come mancanti: la sintassi e il calcolo deduttivo Λ, distinto dagli assiomi metafisici delle sezioni 8-13; la dimostrazione di correttezza di Λ; e la dimostrazione di completezza di Λ, ottenuta riducendo il linguaggio a tre sorte a un linguaggio a una sorte tramite una traduzione esplicita, e applicando a quest’ultimo la costruzione canonica alla Henkin per la logica modale S5 libera del primo ordine.

18. IL CALCOLO DEDUTTIVO Λ - SINTASSI

Il calcolo Λ è distinto, per costruzione, dalla teoria T (gli assiomi metafisici delle sezioni 8-13): Λ è la logica di sfondo - valida in ogni modello della classe considerata, indipendentemente da quale sia l’Assoluto, chi sia il Relativo, se vi sia o no un’Incarnazione - mentre T è l’insieme delle premesse specifiche di questo sistema, aggiunte a Λ come assiomi non logici. La distinzione tra i due è precisamente quella tra “ciò che vale in ogni mondo possibile per ragioni puramente logiche” e “ciò che questo trattato assume essere vero del mondo effettivo (e di ogni mondo ad esso accessibile) per ragioni metafisiche o rivelate”.

Sorte: I (Individui), N (Nature), P (Proposizioni).

Alfabeto:

Variabili individuali: x, y, z, x1, x2, … [sorta I, infinite numerabili] Variabili di natura: n, n1, n2, … [sorta N, infinite numerabili] Variabili proposizionali: p, p1, p2, … [sorta P, infinite numerabili] Costanti: a, l [sorta I]; nh [sorta N] Simboli di predicato, con segnatura di sorta: unari su I: A, R, U, Inc, At, Aut, Im, Crt, Dep, Tem, Spa, Mat, Persona, PartL, Ex, Incarnazione unari su N: NAss, NRel, Exn unari su P: Vera, Exp binari I x I: Crea, Sost, AnimaSeparata binari I x N: Sussume binari I x I: Accetta (secondo argomento tipicamente l, ma sintatticamente non ristretto) unari su I: Trasforma, AutR binari I x P: Cred, Fondata, PartP, Conosce, Utile Simbolo di identità, uno per sorta: =_I, =_N, =_P (scritti semplicemente “=” quando la sorta è chiara dal contesto) Connettivi: not, &, |, ->, <-> Quantificatori: forall, exists (la sorta della variabile quantificata determina il dominio di quantificazione) Operatori modali: box, diamond Parentesi e virgola.

Termini: ogni variabile o costante di sorta s è un termine di sorta s (nessun simbolo funzionale è presente nel linguaggio).

Formule ben formate, per ricorsione simultanea sulle tre sorte:

Se P è un simbolo di predicato n-ario con segnatura (s1,…,sn) e t1,…,tn sono termini delle sorte corrispondenti, P(t1,…,tn) è una formula atomica.
Se t1, t2 sono termini della medesima sorta s, t1 =_s t2 è una formula atomica.
Se φ, ψ sono formule, lo sono anche not φ, (φ & ψ), (φ | ψ), (φ -> ψ), (φ <-> ψ), box φ, diamond φ.
Se φ è una formula e x una variabile di sorta s, forall x φ e exists x φ sono formule, con occorrenze libere di x in φ legate.

Variabili libere e legate, e sostituibilità di un termine per una variabile senza cattura, sono definite come nel primo ordine classico, sorta per sorta.

19. IL CALCOLO DEDUTTIVO Λ - ASSIOMI E REGOLE

Schemi di assioma (φ, ψ, χ variano su formule ben formate; ove compare una variabile x senza sorta specificata, lo schema vale per ciascuna delle tre sorte separatamente, con il predicato di esistenza appropriato Ex, Exn o Exp):

(PL) Ogni istanza di tautologia della logica proposizionale classica, costruita a partire da &, |, not, ->, <->.

box (φ -> ψ) -> (box φ -> box ψ)
box φ -> φ

diamond φ -> box diamond φ

Da K, T, 5 e dalla regola di necessitazione (sotto) sono derivabili, per via puramente proposizionale-modale, gli schemi 4 (box φ -> box box φ) e B (φ -> box diamond φ): non vengono quindi assunti come primitivi.

Assiomi di quantificazione a logica libera, per ciascuna sorta s con predicato di esistenza corrispondente Exs (Ex per I, Exn per N, Exp per P):

(UI-s) forall x φ(x) & Exs(t) -> φ(t) [per ogni termine t di sorta s, sostituibile per x in φ]

(EG-s) φ(t) & Exs(t) -> exists x φ(x) [stessa condizione]

(Q-DIST) forall x (φ -> ψ) -> (φ -> forall x ψ), a condizione che x non occorra libera in φ.

Si noti l’assenza, tra gli schemi, della formula di Barcan (diamond exists x φ -> exists x diamond φ) e della sua converse per le sorte I e N: la loro validità presupporrebbe un dominio costante, che per queste due sorte è escluso per costruzione (sezione 7). Per la sorta P, il dominio è invece costante per stipulazione semantica, e questo fatto è reso derivabile, non assunto come schema quantificazionale a parte, tramite l’assioma seguente.

(P-ESISTE) forall p Exp(p)

Questo schema afferma che ogni termine di sorta P denota un elemento esistente in ogni mondo: è la traduzione sintattica, al livello del calcolo, della stipulazione semantica di dominio costante per le proposizioni (sezione 7). Poiché (P-ESISTE) è un teorema di Λ (essendo uno dei suoi assiomi), per la regola di necessitazione anche box forall p Exp(p) è un teorema di Λ: il dominio delle proposizioni risulta costante non solo nel mondo di valutazione ma in ogni mondo accessibile, senza bisogno di ulteriori ipotesi.

Assiomi di identità, per ciascuna sorta s:

(ID-RIFL) Exs(t) -> t =_s t

(ID-SOST) t1 =_s t2 -> (φ(t1) <-> φ(t2)) [per ogni formula φ, con t2 sostituito a una o più occorrenze libere di t1, senza cattura]

(ID-NEC) t1 =_s t2 -> box (Exs(t1) -> t1 =_s t2) [necessità dell’identità, relativizzata all’esistenza: se due termini denotano il medesimo oggetto, lo denotano necessariamente in ogni mondo in cui quell’oggetto esiste]

Regole di inferenza:

(MP) Da φ e da φ -> ψ, si inferisce ψ.

(NEC) Da vdash φ - cioè da φ dimostrabile in Λ senza premesse non logiche, φ teorema di Λ - si inferisce box φ. La regola è applicabile solo ai teoremi di Λ, non a formule derivate a partire da premesse contingenti (incluse quelle della teoria T): questa restrizione è essenziale alla correttezza del calcolo, come si vedrà nella dimostrazione della sezione 20.

(UG-s) Da φ -> ψ(x), con x di sorta s non libera in φ, si inferisce φ -> forall x ψ(x).

Definizione di derivazione: una derivazione in Λ di φ a partire da un insieme di premesse Γ è una sequenza finita di formule, ciascuna delle quali è un assioma di Λ, un elemento di Γ, oppure ottenuta dalle precedenti tramite MP, UG-s, o NEC (quest’ultima applicabile solo a formule già dimostrate senza dipendenza da Γ, per la restrizione sopra indicata). Si scrive Γ vdash_Λ φ.

La teoria T è l’insieme non logico costituito dagli assiomi delle sezioni 8-13 (posti come premesse Γ = T). Si scrive T vdash φ per Γ = T vdash_Λ φ. Si noti che, laddove un assioma di T è già scritto con il prefisso box (come avviene in numerosi casi nelle sezioni 8-13, motivati singolarmente), tale box fa parte dell’enunciato stesso dell’assioma - non è ottenuto applicando NEC a T, il che sarebbe scorretto essendo T un insieme di premesse contingenti e non di teoremi di Λ.

20. DIMOSTRAZIONE DI CORRETTEZZA (SOUNDNESS)

Semantica: un modello è una struttura M = <W, Racc, D_I, D_N, D_P, J> dove W è un insieme non vuoto di mondi; Racc su W è una relazione di equivalenza (riflessiva, simmetrica, transitiva); D_I e D_N assegnano a ciascun mondo w un insieme D_I(w), D_N(w) (domini variabili); D_P è un insieme fissato, uguale in ogni mondo (dominio costante); J è una funzione di interpretazione che assegna, a ogni costante, un elemento di un dominio (fissato in ogni mondo in cui esiste, per la rigidità delle costanti stabilita nella sezione 7), e a ogni predicato e mondo un’estensione costruita esclusivamente a partire dagli elementi esistenti in quel mondo nei domini pertinenti.

Assegnazione g: funzione che associa a ogni variabile di sorta s un elemento del dominio “esterno” di quella sorta (l’unione di D_s(w) su tutti i w). Soddisfazione M, w vDash φ [g] è definita per ricorsione sulla struttura di φ nel modo standard, con la clausola cruciale che una formula atomica P(t1,…,tn) è vera in w solo se ogni ti denota, sotto g, un elemento del dominio di w della sorta corrispondente (questo è precisamente il contenuto semantico della convenzione di libertà esistenziale introdotta nella sezione 7); i quantificatori forall x φ, exists x φ sono valutati restringendo il campo di variazione di x agli elementi di D_s(w) (non del dominio esterno intero).

Validità: vDash φ significa che M, w vDash φ [g] per ogni modello M della classe descritta, ogni mondo w di M, e ogni assegnazione g.

TEOREMA (Correttezza). Se Γ vdash_Λ φ, allora, per ogni modello M e mondo w di M tali che M, w vDash γ per ogni γ ∈ Γ, si ha M, w vDash φ. In particolare (Γ = ∅): se vdash_Λ φ allora vDash φ.

Dimostrazione, per induzione sulla lunghezza della derivazione.

Caso base, φ è un’istanza di assioma:

(PL): valida per la semantica classica, vero-funzionale, di &, |, not, ->, <->, valutati punto per punto in ogni mondo.
(K): validità standard per l’operatore box interpretato come “vero in ogni mondo accessibile”, indipendente dalle proprietà di Racc.
(T): valida perché Racc è riflessiva: se box φ vale in w (φ vale in ogni mondo accessibile da w) e w Racc w (riflessività), allora φ vale in w.
(5): valida perché Racc è simmetrica e transitiva (dunque euclidea): risultato standard di corrispondenza tra proprietà euclidee di Racc e validità dello schema 5.
(UI-s): se forall x φ(x) vale in w e Exs(t) vale in w (la denotazione di t appartiene a D_s(w)), allora, per la clausola semantica dei quantificatori, φ vale di quella denotazione, cioè φ(t) vale in w.
(EG-s): duale, immediata.
(Q-DIST): validità del primo ordine classico, indipendente dalle componenti modale e libera, per la condizione x non libera in φ.
(ID-RIFL), (ID-SOST): validità standard per l’identità, dato che ogni termine, quando esiste in w, denota esattamente un elemento del dominio, e la sostituzione di termini co-denotanti preserva la verità per induzione sulla struttura di φ.
(ID-NEC): valida per la rigidità dei termini stabilita nella semantica (sezione 7): se t1 e t2 denotano il medesimo oggetto in un mondo, e i termini sono rigidi, denotano il medesimo oggetto in ogni mondo in cui quell’oggetto esiste.
(P-ESISTE): valida per stipulazione della classe di modelli considerata, in cui D_P è costante e coincide esattamente con l’insieme delle denotazioni possibili dei termini di sorta P (nessun termine di sorta P è “senza denotazione”).

Passo induttivo, regole di inferenza:

(MP): se φ e φ->ψ valgono entrambe in w, ψ vale in w, per la semantica classica dell’implicazione.
(NEC): se vdash_Λ φ (derivazione senza premesse), per ipotesi induttiva vDash φ, cioè φ vale in ogni mondo di ogni modello della classe. Allora, per ogni mondo w di ogni modello, φ vale in ogni mondo accessibile da w (essendo φ valida ovunque), dunque box φ vale in w: vDash box φ. Si noti che questo argomento richiede essenzialmente che φ sia valida in senso assoluto (vera in ogni mondo di ogni modello), non semplicemente vera nel mondo w considerato: è per questo che NEC è ristretta ai soli teoremi di Λ nella definizione della sezione 19 - se si applicasse NEC a una premessa contingente γ ∈ Γ (vera in w ma non necessariamente vera in ogni mondo accessibile da w), si otterrebbe box γ, che potrebbe essere falso in w: un passo scorretto, che la restrizione della regola esclude per costruzione.
(UG-s): se φ->ψ(x) vale in w per ogni assegnazione a x, e x non è libera in φ (per cui il valore di verità di φ non dipende dall’assegnazione a x), allora φ -> forall x ψ(x) vale in w, per la semantica dei quantificatori.

Per induzione, ogni Λ-teorema è valido, e ogni derivazione da premesse Γ è corretta nel senso enunciato. QED.

COROLLARIO (coerenza relativa di T). Se T avesse una contraddizione derivabile - se cioè T vdash φ e T vdash not φ per qualche φ - allora, per il teorema di correttezza, in ogni modello M e mondo w in cui tutti gli assiomi di T sono veri, sarebbero vere sia φ sia not φ: impossibile, per la semantica classica della negazione. Il modello costruito esplicitamente nella sezione 17.1 è un modello in cui tutti gli assiomi di T sono veri nel mondo w0; per il teorema di correttezza, dunque, da T non può essere derivata alcuna contraddizione. Questo rende rigorosa, finalmente, la connessione tra la costruzione del modello (sezione 17) e l’affermazione di coerenza della teoria (sezione 16): non più un’analogia informale, ma una conseguenza dimostrata del teorema di correttezza applicato a un modello esibito esplicitamente.

21. DIMOSTRAZIONE DI COMPLETEZZA

L’obiettivo è il teorema di completezza forte: per ogni insieme di formule Σ, se Σ vDash φ (ogni modello che soddisfa Σ soddisfa anche φ), allora Σ vdash_Λ φ. Equivalentemente, per contrapposizione: ogni insieme di formule Λ-consistente (cioè da cui non è derivabile una contraddizione) è soddisfacibile in qualche modello.

21.1 Riduzione a una sola sorta

Anziché costruire direttamente un modello canonico a tre sorte, conviene tradurre il linguaggio a tre sorte in un linguaggio a una sola sorta, e applicare a quest’ultimo la costruzione canonica standard per la logica modale libera del primo ordine (nota in letteratura, per esempio nel trattamento di Fitting e Mendelsohn della logica modale libera con domini variabili). Questa è una tecnica generale e consolidata (la riduzione di un linguaggio a più sorte a un linguaggio a una sorte tramite predicati di sorta è un risultato di teoria dei modelli classica, talvolta chiamato relativizzazione dei quantificatori), qui adattata al caso modale-libero a tre sorte.

Si introducono: un unico dominio di “oggetti in generale”; tre nuovi predicati unari SI, SN, SP (predicati di sorta); un unico predicato di esistenza E, che sostituisce Ex, Exn, Exp.

Traduzione τ, definita per ricorsione sulla struttura delle formule:

τ(P(t1,…,tn)) = P(t1,…,tn), per ogni predicato P del linguaggio originale (i simboli restano gli stessi; cambia solo il dominio di quantificazione sottostante).
τ(Exs(t)) = E(t), per s ∈ {I,N,P} (i tre predicati di esistenza collassano nell’unico E, la sorta essendo già tracciata da SI/SN/SP).
τ commuta con i connettivi booleani e con box, diamond.
τ(forall_s x φ) = forall x (Ss(x) -> τ(φ))
τ(exists_s x φ) = exists x (Ss(x) & τ(φ)) dove Ss è SI, SN o SP a seconda della sorta s di x.

Insieme di postulati di traduzione Δ (assiomi non logici, aggiunti una volta per tutte, che fissano il comportamento dei predicati di sorta):

(SORT-PART) forall x (SI(x) | SN(x) | SP(x)) (SORT-EXCL) forall x not (SI(x) & SN(x)), e analoghe per le altre due coppie (SORT-RIG) Ss(x) -> box (E(x) -> Ss(x)), per s ∈ {I,N,P} [rigidità dell’appartenenza di sorta: se x è di una data sorta, lo è necessariamente in ogni mondo in cui esiste] (SORT-a) SI(a), SI(l), SN(nh) [fissano la sorta delle costanti del linguaggio originale]

TEOREMA (di riduzione). Per ogni insieme di formule Σ del linguaggio a tre sorte e ogni formula φ dello stesso linguaggio:

Σ vdash_Λ3 φ se e solo se τ(Σ) ∪ Δ vdash_Λ1 τ(φ)

dove Λ3 è il calcolo della sezione 19 (a tre sorte) e Λ1 è il corrispondente calcolo a una sola sorta (gli stessi schemi di assioma della sezione 19, con Ex sostituito da E e senza distinzione di sorta nei quantificatori). La dimostrazione, in entrambe le direzioni, procede per induzione sulla struttura delle derivazioni, verificando che ogni assioma e regola di Λ3 si traduce in un assioma o in una sequenza di passi derivabile in Λ1+Δ, e viceversa - un controllo meccanico, dato che τ è definita in modo da preservare esattamente la struttura logica delle formule, limitandosi a relativizzare i quantificatori.

Analogamente, Σ è Λ3-soddisfacibile se e solo se τ(Σ)∪Δ è Λ1-soddisfacibile: dato un modello a tre sorte, si ottiene un modello a una sorta unendo i tre domini e interpretando SI, SN, SP come le partizioni corrispondenti; viceversa, dato un modello a una sorta che soddisfa Δ, le partizioni indotte da SI, SN, SP (disgiunte ed esaustive, per SORT-EXCL e SORT-PART, rigide per SORT-RIG) permettono di recuperare tre domini variabili distinti, uno per sorta.

Per questo teorema, la completezza di Λ3 (rispetto a T) segue dalla completezza di Λ1 (rispetto a τ(T)∪Δ), che si dimostra ora con il metodo canonico standard.

21.2 Costruzione del modello canonico per Λ1 (logica modale S5 libera, una sorta)

Sia Σ’ = τ(Σ)∪Δ un insieme Λ1-consistente di formule (nel linguaggio eventualmente esteso con costanti di Henkin, vedi sotto).

Lemma di Lindenbaum. Ogni insieme Λ1-consistente si estende a un insieme massimale Λ1-consistente (cioè che decide ogni formula del linguaggio, e resta consistente). Dimostrazione standard: enumerato il linguaggio (numerabile, essendo numerabili i simboli non logici), si aggiungono le formule una a una, mantenendo la consistenza a ogni passo (se l’aggiunta di φ producesse inconsistenza, si aggiunge not φ al suo posto, il che è sempre possibile per la consistenza dell’insieme di partenza).

Saturazione alla Henkin, adattata alla logica libera. Si espande il linguaggio con un insieme numerabile di nuove costanti c1, c2, … (“testimoni”). Nel processo di costruzione dell’insieme massimale consistente, ogni volta che si aggiunge una formula della forma exists x φ(x), si aggiunge contestualmente anche E(ci) & φ(ci) per una costante di Henkin ci non ancora utilizzata: questo è possibile perché, per lo schema (EG) letto al contrario in sede di costruzione (un argomento standard di conservatività dell’estensione con costanti nuove), l’insieme risultante resta consistente. Si ottiene così un insieme Γ* massimale consistente e Henkin-saturo: per ogni exists x φ(x) ∈ Γ, esiste un termine (variabile o costante di Henkin) c tale che E(c) & φ(c) ∈ Γ.

Relazione di identità e dominio canonico. Si definisce t1 ~ t2 se e solo se t1 = t2 ∈ Γ: per gli assiomi (ID-RIFL) e (ID-SOST), ~ è una relazione di equivalenza sui termini per cui E vale in Γ. Il dominio del mondo canonico associato a Γ* è l’insieme delle classi di equivalenza [t] per t tale che E(t) ∈ Γ*.

Interpretazione canonica. Per ogni predicato P e classi [t1],…,[tn]: P([t1],…,[tn]) vale nel mondo canonico Γ* se e solo se P(t1,…,tn) ∈ Γ* (ben definita, per (ID-SOST), indipendentemente dai rappresentanti scelti).

Relazione di accessibilità canonica. Per due insiemi massimali consistenti e Henkin-saturi Γ, Δ (costruiti nel medesimo linguaggio esteso), si pone Racc^can(Γ,Δ) se e solo se {φ : box φ ∈ Γ} ⊆ Δ.

Lemma (Racc^can è di equivalenza, dato lo schema S5). La riflessività segue dallo schema (T): se box φ ∈ Γ, per (T) φ ∈ Γ, dunque {φ: boxφ∈Γ} ⊆ Γ, cioè Racc^can(Γ,Γ). Simmetria e transitività seguono, con un’argomentazione standard, dallo schema (5): si dimostra che, dato (5), l’insieme {φ : box φ ∈ Γ} è lo stesso per ogni Δ tale che Racc^can(Γ,Δ), il che colassa la relazione, ristretta all’insieme dei mondi canonici raggiungibili da un fissato Γ0, in un’unica classe di equivalenza (il “cluster universale” caratteristico dei modelli canonici per S5) - risultato standard nella teoria della logica modale, qui non ridimostrato nei dettagli combinatori ma correttamente enunciato e applicato.

Lemma di verità (Truth Lemma). Per ogni formula φ del linguaggio esteso e ogni mondo canonico Γ (nel cluster generato da Γ0):

M^can, Γ vDash φ se e solo se φ ∈ Γ

Dimostrazione per induzione sulla struttura di φ:

Caso atomico: per definizione dell’interpretazione canonica.
Caso booleano (not, &, |, ->, <->): per massimalità e consistenza di Γ, che decide ogni formula in modo classicamente coerente (not φ ∈ Γ se e solo se φ ∉ Γ; φ&ψ ∈ Γ se e solo se φ∈Γ e ψ∈Γ; eccetera), combinata con l’ipotesi induttiva su φ e ψ.
Caso esistenziale: exists x φ(x) ∈ Γ se e solo se (per la saturazione di Henkin) E(c)&φ(c) ∈ Γ per qualche costante di Henkin c, se e solo se (ipotesi induttiva applicata a φ(c), formula di complessità trattata come equivalente a φ(x) per convenzione standard di sostituzione) [c] appartiene al dominio canonico di Γ e M^can,Γ vDash φ [x:=[c]], se e solo se (clausola semantica dell’esistenziale, che quantifica esattamente sugli elementi del dominio canonico) M^can,Γ vDash exists x φ(x). Il caso universale segue per dualità (forall x φ equivalente a not exists x not φ).
Caso modale: box φ ∈ Γ se e solo se, per definizione di Racc^can, φ ∈ Δ per ogni Δ con Racc^can(Γ,Δ), se e solo se (ipotesi induttiva) M^can,Δ vDash φ per ogni tale Δ, se e solo se (clausola semantica di box) M^can,Γ vDash box φ. La direzione non banale (box φ ∉ Γ implica l’esistenza di un Δ accessibile con φ ∉ Δ) si ottiene mostrando che l’insieme {ψ : box ψ ∈ Γ} ∪ {not φ} è Λ1-consistente - se non lo fosse, per un argomento standard che utilizza lo schema (K) e la regola (MP), si potrebbe derivare box φ direttamente da {ψ: boxψ∈Γ}, contraddicendo box φ ∉ Γ - e dunque, per il lemma di Lindenbaum e la saturazione di Henkin (applicati di nuovo), si estende a un insieme massimale consistente e Henkin-saturo Δ con Racc^can(Γ,Δ) e not φ ∈ Δ, dunque φ ∉ Δ.

Teorema di completezza per Λ1. Sia Σ’ un insieme Λ1-consistente. Per il lemma di Lindenbaum e la saturazione di Henkin, si estende a un insieme massimale consistente Henkin-saturo Γ0 ⊇ Σ’ nel linguaggio esteso. Il modello canonico M^can, ristretto al cluster generato da Γ0, è un modello nel senso della sezione 20 (dominio variabile costruito dai termini esistenti in ciascun mondo canonico, Racc^can di equivalenza). Per il lemma di verità, M^can, Γ0 vDash σ per ogni σ ∈ Σ’: dunque Σ’ è soddisfacibile. Per contrapposizione, se Σ’ vDash φ allora Σ’∪{not φ} è insoddisfacibile, dunque (per quanto appena dimostrato) Λ1-inconsistente, dunque Σ’ vdash_Λ1 φ: completezza forte per Λ1.

21.3 Completezza di Λ3 e conclusione

Per il teorema di riduzione (21.1), la completezza di Λ1 rispetto a τ(T)∪Δ trasferisce alla completezza di Λ3 rispetto a T: se T vDash φ (nel linguaggio a tre sorte), allora τ(T)∪Δ vDash τ(φ) (per la corrispondenza semantica stabilita nel teorema di riduzione), dunque (per la completezza di Λ1 appena dimostrata) τ(T)∪Δ vdash_Λ1 τ(φ), dunque (di nuovo per il teorema di riduzione, applicato alla derivabilità) T vdash_Λ3 φ.

Si osservi inoltre, come verifica di coerenza interna al presente apparato, che il dominio costante per la sorta P, richiesto dalla semantica della sezione 7 e imposto sintatticamente dallo schema (P-ESISTE), è automaticamente rispettato dal modello canonico: essendo box forall p Exp(p) un teorema di Λ (nota alla fine della sezione 19), esso appartiene a ogni mondo canonico del cluster (per il lemma di verità applicato al caso modale), garantendo che ogni termine di sorta P esista in ogni mondo del modello canonico - la costanza del dominio proposizionale non è quindi un’ipotesi aggiunta all’atto della costruzione, ma una conseguenza dimostrata della struttura di Λ.

Questo completa, nei limiti dichiarati a ogni passo (uso di risultati standard della teoria della dimostrazione modale citati e correttamente applicati piuttosto che ridimostrati da zero nei loro lemmi puramente combinatori, quali il collasso del cluster S5 o il lemma di conservatività dell’estensione di Henkin), la dimostrazione di correttezza e completezza per il calcolo Λ a tre sorte su cui l’intera teoria T delle sezioni 8-13 è costruita.

22. L’ECO STRUTTURALE: OFFERTA E ACCOGLIENZA

Un’ultima osservazione, che il sistema conteneva già senza dichiararla, riguarda la relazione tra i due atti su cui l’intera parte soteriologica si regge: l’Incarnazione da parte del Logos e l’accettazione da parte del Relativo. Nel calcolo delle sezioni 10 e 13, nessuno dei due atti è mai derivato da un predicato che lo preceda. Incarnazione(l) non segue da alcuna necessità interna alla natura assoluta del Logos - se ne seguisse, sarebbe necessaria, e l’intero apparato della sezione 10, con la sua accurata distinzione tra ciò che in Cristo è necessario (la sussunzione della natura assoluta, e con essa l’immutabilità) e ciò che è libero (l’evento dell’Incarnazione stesso), perderebbe senso. Accetta(y,l), specularmente, non segue da alcun predicato interno a y - non dalla sua conoscenza, non dalla sua virtù, non dal grado della sua partecipazione ordinaria al Logos: se ne seguisse, ricadremmo esattamente nel corno del dilemma escluso nella sezione 6.1, quello di un perfezionamento del Relativo capace di colmare da sé la distanza che lo separa dall’Assoluto.

I due atti condividono dunque, nella struttura del calcolo, la medesima posizione: entrambi primitivi, entrambi non teoremi ma assunzioni, la cui verità in un dato mondo non è imposta da null’altro che da se stessa. L’Incarnazione è il Logos che si offre senza che nulla, nella sua natura, lo costringa a offrirsi. L’accoglienza è il Relativo che si offre a sua volta senza che nulla, nella sua condizione, lo costringa ad accogliere. Sono, nella loro forma logica, lo stesso gesto ripetuto su due livelli distinti dell’essere: un dono che non è dovuto, e una risposta che non è automatica.

Questo non cancella l’asimmetria che il sistema custodisce fin dall’inizio, e che va tenuta ferma: Accetta(y,l) -> Incarnazione(l) (sezione 13) resta un’implicazione, non una biimplicazione. L’accoglienza presuppone l’offerta e non può precederla, così come il Relativo non può, per nessuna delle vie escluse nella sezione 6.1, generare da sé la condizione della propria trasformazione. Ma dentro questa dipendenza asimmetrica, l’atto di accogliere non è una conseguenza meccanica dell’atto di offrire, un effetto che ne segua per necessità causale - altrimenti sarebbe di nuovo un teorema derivato, non un atto secondo, libero, proprio. È piuttosto un’eco: la stessa forma di libertà, risvegliata nel Relativo dall’aver incontrato, nell’Assoluto, la medesima forma già offerta. Non un calcolo che risponde a un input, ma un dono che, senza cessare di dipendere dal primo, gli risponde nella stessa lingua in cui è stato pronunciato.

È qui, in questo punto preciso e non altrove, che la formalizzazione tocca il proprio limite dichiarato fin dal proemio: la struttura logica può mostrare che i due atti occupano la medesima posizione nel calcolo, irriducibili entrambi a ciò che li precede; non può mostrare, perché nessun calcolo può mostrarlo, che cosa sia, dall’interno, offrirsi o accogliere. Il trattato può accompagnare il pensiero fin qui. Da qui in avanti, resta soltanto l’atto.

CONCLUSIONE

La Logica Assoluta presenta una metafisica formale nella quale l’Assoluto rimane trascendente, increato, autonomo e immutabile, mentre il Relativo conserva il carattere di creaturalità, dipendenza e contingenza. Il Logos costituisce il soggetto personale nel quale una natura assoluta e una natura relativa co-sussistono senza confusione né identità. La trasformazione soteriologica del Relativo è descritta come partecipazione elevante e non come divinizzazione ontologica: il Relativo trasformato resta, per sempre, distinto dall’Assoluto che lo ha trasformato, partecipando a modi d’essere prima preclusi senza mai diventare, in alcun senso, l’Assoluto stesso.

Il sistema nasce dall’esigenza di tenere insieme tre affermazioni che, prese isolatamente, sono ciascuna filosoficamente comprensibile, ma che insieme richiedono un apparato concettuale capace di evitare le contraddizioni apparenti tra loro: che l’Assoluto è radicalmente trascendente e non riducibile in alcun modo al Relativo; che il Relativo, ciò nondimeno, è capace di una conoscenza autentica, per quanto parziale e fallibile, dell’ordine intelligibile che lo sostiene; e che questa distanza ontologica, insormontabile per le sole risorse della natura relativa, può essere realmente colmata - non abolita, ma abitata in una condizione nuova - attraverso un evento che la ragione naturale non può produrre da sé, ma che può, una volta accaduto, essere accolto, compreso nei suoi termini strutturali e formalizzato nella sua coerenza logica interna.

Resta, come è proprio di ogni sistema che tocca l’Assoluto, un residuo che la formalizzazione non esaurisce: la struttura logica può mostrare la coerenza interna delle affermazioni, non sostituire l’atto - non riducibile a un teorema - con cui il Relativo accoglie ciò che gli viene incontro.

adriano53s@hptmail.com

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Table of Contents

TRATTATO DI LOGICA ASSOLUTA

Sistema metafisico-teologico discorsivo e formale (FOL-S5)

PROEMIO